La cuantificación y la existencia de una función

Question

Estoy tratando de entender qué es exactamente el axioma de elección (AC). Creo que gran parte de la confusión proviene de tomar AC obvio no saber lo que implica exactamente ZF.

AC para familias indexadas no vacías $(B_x )_{x \in A}$ está representado por $$ \forall x \in A:B_x \neq \varnothing \Rightarrow \exists f \in A \to \cup_{x \in A}B_x:\forall x \in A: f(x) \in B_x $$ donde $X \to Y$ denota el conjunto de todas las funciones de $X$ a $Y$ .

Por ejemplo, para los conjuntos $X$ y $Y$ y un predicado $P$ La declaración $$ \forall x \in X: \exists y \in Y: P(x,y) \Rightarrow \exists f \in X \to Y: \forall x \in X: P(x,f(x)) $$ es una consecuencia directa de AC ya que podemos definir $B_x = \{y \in Y|P(x,y)\}$ . Mi pregunta es, ¿realmente la declaración necesita AC en ZF?

Answer 1

Sí, AC es necesario para su declaración porque también puede demostrar AC de su declaración en ZF:

Para ver esto, suponga su declaración $$ \forall x \in X: \exists y \in Y: P(x,y) \Rightarrow \exists f \in X \to Y: \forall x \in X: P(x,f(x)) \quad \cdots (\star) $$

A continuación, asuma las hipótesis de AC. Es decir, dejemos que $(B_x)_{x \in A}$ sea una familia indexada y suponga para todo $x \in A$ tenemos $B_x \neq \varnothing$ . Así que dejemos $x \in A$ . Desde $B_x \neq \varnothing$ y $B_x \subseteq \bigcup_{x \in A} B_x$ la condición $\exists y \in \bigcup_{x \in A} B_x : y \in B_x$ se satisface. Por lo tanto, al establecer

• $X := A$
• $Y := \bigcup_{x \in A} B_x$
• $P(x, y) := y \in B_x$

En su declaración $(\star)$ se llega a la conclusión de que existe algún $f \in X \to Y$ es decir $f \in A \to \bigcup_{x \in A} B_x$ tal que para todo $x \in X$ es decir $x \in A$ tenemos $P(x, f(x))$ es decir $f(x) \in B_x$ .

Esta es exactamente la conclusión que necesita para AC.