¿Esta desigualdad al estilo de Bonferroni también es válida para las funciones características?

Question

Esta es la popular desigualdad de Bonferroni. ¿Se cumple también para las funciones características de las variables aleatorias, como cuando $P(A_i)$ se sustituye por la función característica $\chi(A_i)$ ¿ y todo eso?

Variables aleatorias dadas $A_1,A_2...A_n$ (no eventos como en el Teorema 1.2.3), ¿se cumple? $$ \sum_{i=1}^n||\chi_{A_i}(t)|| - \sum_{i <j}^n||\chi_{A_i|A_j}(t).\chi_{A_j}(t)|| \le ||\chi_{\sum_{i=1}^n A_i}(t)||$$

Answer 1

No, la desigualdad de Bonferroni indicada no es válida para las funciones características. Desde luego, no en la forma en que la has formulado, y no se me ocurre ninguna otra forma de interpretar la desigualdad de Bonferroni en el contexto de las funciones características.

Ejemplo: $n=2$ , tome las variables aleatorias $X=1_A$ et $Y=1_B$ donde $A$ et $B$ son eventos independientes. Entonces $\chi_X(t)=e^{it}P(A)+P(A^c)$ , por lo que podemos elegir claramente $t$ tal que $x:=|\chi_X (t)|<1$ . Defina también $y:=|\chi_Y(t)|$ . En esta situación, la desigualdad indicada es equivalente a $x+y-xy\leq xy$ es decir $x+y\leq 2xy$ . Combinando esto con la desigualdad AM-GM se llega a $\sqrt{xy}\leq xy$ lo cual es claramente falso cuando $xy<1$ .