Dejemos que $H=\{2,3,4,\dots,n+1\}$ . Demostrar que $\sum_{\emptyset \neq S\subset H}\prod_{i\in S}\frac{1}{i}=n/2$ .

Question

Dejemos que $H:=\{2,3,4,\dots,n+1\}$ . Demostrar que $$\sum_{\emptyset \neq S\subset H}\prod_{i\in S}\frac{1}{i}=n/2.$$ Por ejemplo, con $n=3$ tenemos $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 4}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}=\frac{3}{2}.$

Intenté la inducción pero me lleva a demasiados términos para tratar la hipótesis inductiva. ¿Cómo puedo demostrar esto, con la inducción o de otra manera?

Answer 1

Sugerencia: En general $$\sum_{\emptyset\ne S \subset H} \prod_{i\in S} a_i = \prod_{i\in H} (1+ a_i) - 1$$