Localmente Lipschitz en un punto y alrededor de un punto.

Question

Me encuentro con 2 definiciones Dejemos que $A \subseteq \mathbb R^n$ y $f:A\to \mathbb R^m$ .

$f$ se dice que es localmente Lipschitz en un punto $c \in A$ si $$ (\exists \delta>0)(\exists L \ge 0)(\forall x \in A)\\ \Vert x-c\Vert<\delta \implies \Vert f(x)-f(c)\Vert\le L\Vert x-c\Vert $$ y $f$ se dice que es localmente Lipscihtz alrededor de un punto $c\in A$ si $$ (\exists \delta>0)(\exists L \ge 0)(\forall x,y \in K(c,\delta))\\ \Vert f(x)-f(y)\Vert\le L\Vert x-y\Vert $$ obviamente la segunda definición pide más y toda función localmente Lipschitz alrededor de un punto es también localmente Lipschitz en un punto, pero estoy tratando de demostrar que lo contrario no es cierto y he estado fallando por un tiempo

lo único que da la primera definición es $$\Vert f(x)-f(y)\Vert \le L (\Vert x-c\Vert + ||y-c||)$$

editar: $K(c,\delta)$ es una bola abierta alrededor de $c$ con un radio $\delta$

Answer 1

Dejemos que $f(x)=x^{2}\sin(1/x^{2})$ para $x\ne 0$ , $f(0)=0$ tenemos $f'(0)=0$ por lo que es localmente Lipschitz en $0$ pero $f'(x)$ no tiene límites en torno a $0$ por lo que no es localmente Lipschitz alrededor ded $0$ .