Divergencias de potencia de bucles

Question

No sé qué debería pensar sobre las divergencias de potencia de los bucles.

La mayoría de los libros de QFT nos dicen cómo lidiar con las divergencias logarítmicas de los bucles $\sim\ln(\Lambda^2/\Delta)$: podemos establecer un contra término $\sim\ln(\Lambda^2/\mu^2)$ para cancelar la divergencia en alguna escala $\mu$, luego en cualquier otra escala esto en términos de cantidades renormalizadas son finitas $\sim\ln(\mu^2/\Delta)$.

Sin embargo, a veces nos encontramos con divergencias de potencia como $\sim\Lambda^2s$ en teorías donde tenemos interacciones dependientes del momento (como una teoría no renormalizable con la interacción $\phi^2\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi$), donde $s$ es una de las variables de Mandelstam que dependen de los momentos externos. Si intentamos aplicar el mismo método para añadir contra términos, podemos tener un contra término $\sim\Lambda^2\mu^2$ de modo que la divergencia de potencia se cancele a escala de energía $\mu$. Pero si vamos a otra escala con $s\neq \mu^2$, tendremos $\Lambda^2(\mu^2-s)$, que es divergente e invalida la teoría de perturbación. Esto es muy malo y significa que no podemos cancelar la infinitud si solo tenemos este tipo de contra términos.

Afortunadamente, hay otra posibilidad: podemos ser capaces de añadir contra términos que den $s\Lambda^2$ (por ejemplo, mediante la renormalización de la fuerza del campo en la teoría con la interacción $\phi^2\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi$), lo cual puede cancelar las divergencias de potencia en todas las escalas. Esto es bueno, y es aún mejor que el caso de las divergencias logarítmicas, porque podemos cancelar las divergencias de potencia de forma idéntica en todas las escalas, pero solo podemos cancelar las divergencias logarítmicas en una escala particular que elegimos como nuestra escala de renormalización. Sin embargo, mi preocupación es que debido a que solo podemos añadir términos que son compatibles con las simetrías del sistema, puede que no podamos añadir algunos contra términos que son necesarios para cancelar algunas divergencias de potencia pero son inconsistentes con las simetrías.

Mis preguntas son:

1. ¿Es esta (la segunda forma de contra términos) la única manera en que las divergencias de potencia serán canceladas?

2. Si la respuesta es afirmativa, ¿siempre somos capaces de establecer contra términos con respecto a las simetrías del sistema de esta manera, para que las divergencias de potencia siempre se puedan cancelar en todas las escalas (¡entonces no tenemos que preocuparnos por las divergencias de potencia en absoluto!)?

3. De lo contrario, ¿cómo deberíamos cancelar las divergencias de potencia? O si no se pueden realmente cancelar, ¿cuál es su efecto?

Por cierto, uno podría decir que si usamos la regularización dimensional, las divergencias de potencia aparecen de la misma manera que las divergencias logarítmicas (como $1/\epsilon$ donde $\epsilon=4-d$), por lo que podemos aplicar el método para lidiar con las divergencias logarítmicas. Pero creo que esto es demasiado complicado y quiero enfrentar este problema con otros esquemas de regularización que tengan un corte.

Answer 1

1. ¿Es esta (el segundo tipo de contra términos) la única forma en la que se cancelarán las divergencias de potencia?

Sí, necesitas agregar contra términos que se parezcan a las divergencias que encuentres. Entonces en este caso, tienes toda la razón, necesitas agregar un contra término correspondiente a $\phi^2 \partial(\phi)^2$.

2. En caso afirmativo, ¿siempre somos capaces de establecer contra términos con respecto a las simetrías del sistema de esta manera, para que las divergencias de potencia siempre se puedan cancelar en todas las escalas (¡entonces no tenemos que preocuparnos por las divergencias de potencia en absoluto!)?

No estoy seguro de qué simetría te preocupa aquí, pero a menudo las divergencias de ley de potencia romperán las simetrías con las que comenzaste y requerirán que agregues contra términos que rompan la simetría con la que comenzaste. De hecho, esto es precisamente por qué la gente tiende a enfocarse en los logaritmos o a usar métodos de regularización como la regla de dimensionalidad, donde las leyes de potencia no aparecen y no tienes este molesto problema.

El principio general es que necesitarás contra términos que violen la simetría con la que comenzaste, si tu método de regularización en sí mismo rompe la simetría. Un ejemplo es el QED. Regularizando con un corte duro viola la invarianza de calibre, por lo que las divergencias de ley de potencia también violan la invarianza de calibre. (Solo calcula la corrección de un bucle a la función de dos puntos para el fotón, la invarianza de calibre te dice que el propagador debe ser proporcional a $\eta_{\mu\nu}-p_\mu p_\nu$, pero las divergencias de ley de potencia darán contribuciones relativas diferentes a esos dos términos).

La mejor solución es usar un esquema de regularización que respete todas las simetrías. La regla de dimensionalidad suele ser una buena elección. Si no puedes encontrar un esquema de regularización así, puede ser una señal de que la simetría es anómala y no se puede mantener a nivel cuántico (por ejemplo, los fermiones sin masa tienen una simetría quirúrgica que es anómala cuando los acoplas a campos de calibre).

Si insistes en usar un esquema de regularización diferente, aún puedes obtener la respuesta correcta, pero tomará un poco más de trabajo. Necesitarás agregar contra términos que violen la simetría. Sin embargo, la verdadera pregunta es que cuando calculas algo físico (como la matriz S), después de renormalizar, ¿las cantidades físicas respetarán la simetría? Terminarás descubriendo, si haces las cosas correctamente, que la falla de los contra términos para respetar la simetría cancelará exactamente la falla de las divergencias para respetar la simetría, y la respuesta final será simétrica. Consultaría a Weinberg si quieres obtener una prescripción precisa sobre cómo proceder.

La lección es que para renormalizar, simplemente agregas los contra términos que necesitas para cancelar las divergencias que encuentras, sin pensar en lo que significan. Más adelante, es posible que necesites reinterpretar para averiguar exactamente cuál es la física.

También es cierto que esta interacción no es renormalizable, por lo que terminarás generando un número infinito de contra términos. Sin embargo, dependiendo de lo que estés tratando de hacer, eso no es necesariamente tan malo como suena.

Answer 2

El término de interacción que estás usando es $\phi^2\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi$ (agrega una constante de acoplamiento delante de este término), este término tiene por conteo de potencia una dimensión de masa 6, por lo tanto la constante de acoplamiento tiene una dimensión de masa -2. Esto refleja que el término de interacción es no renormalizable. Esto te dice que esta teoría no es válida hasta cualquier escala de alta energía.

Lo mejor que puedes hacer es hacer una teoría efectiva de campo. La situación es similar al lagrangiano de Einstein-Hilbert, que también es no renormalizable por conteo de potencias.

Ninguno de tus análisis simplemente se sostendrá en QFT para este tipo de interacción. No puedes simplemente agregar cualquier contra término que quieras, debes encontrar que su necesidad surge como una redefinición de algunas cantidades que en este caso no serán finitas en número (como la fuerza de campo, la masa, etc.).