Encontrar el valor de $f(1)$ a partir de una ecuación funcional dada

Question

Una función $f: \mathbb{Q}^+ \cup \{0\} \to \mathbb{Q}^+ \cup \{0\}$ se define de forma que $$ f(x) + f(y) + 2xyf(xy) = \frac{f(xy)}{f(x+y)}$$ Entonces, ¿cuál es el valor de $\left[f(1)\right]$ (donde $[.]$ denota la mayor función entera)?

Procedí de esta manera:
Poniendo $x=y=0$ Tengo $f(0) = \frac{1}{2}$ (suponiendo que $f(0) \neq 0$ )
De nuevo poniendo $y=0$ Tengo $f(x) + f(0) = \frac{f(0}{f(x)}$ que dio 2 valores de $f(x)$ como $-1$ y $\frac{1}{2}$ .
Como $f(0)$ era igual a $\frac{1}{2}$ así que asumí $f(x)$ como una función constante con valor $\frac{1}{2}$ para todos $x$ .
Cuando $f(0) = 0$ entonces tengo $f(x) = 0$ para todos $x$ .
Pero la respuesta fue dada para ser igual a $1$ lo que significa $f(1) \in [1,2)$ . ¿En qué me equivoco?

Answer 1

1. Supongamos que $f(0) \neq 0$ .

   Entonces $f(0) + f(0) = \frac{f(0)}{f(0)} \rightarrow f(0) = \frac{1}{2}$ ,

   y $f(x) + f(0) = \frac{f(0)}{f(x)} \rightarrow f(x)^2 + \frac{1}{2}f(x) -\frac{1}{2} = 0.$

   2. Supongamos que $f(1) \neq 0$ .

      También sabemos que $f(1) + f(1) + 2f(1) = \frac{f(1)}{f(2)}$ . O $f(2) = \frac{1}{4}$ .

      Sin embargo, $(\frac{1}{4})^2 + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \neq 0$ . Contradicción.

   3. Supongamos que $f(1) = 0$ .

      $0^2 + \frac{1}{2}\cdot 0 - \frac{1}{2} \neq 0$ . Contradicción.

Por lo tanto, tenemos $f(0) = 0$ . Sin embargo entonces tenemos para cualquier $x$ :

$$f(x) = \frac{0}{f(x)}$$

Si $f(x) \neq 0$ entonces la fórmula anterior implica $f(x)^2 = 0$ que es una contradicción.

Así que la función debe ser $f(x) = 0$ en todas partes sin embargo si este es el caso entonces la "definición" está mal definida (división por cero) en todas partes, por lo tanto sostengo que $f$ está mal definida.

Answer 2

Su lógica está bien. Puedes descartar $f(0)=0$ debido a la división por cero que produce a la derecha. Se puede descartar $f(x)=-1$ porque el rango de la función viene dado por $\Bbb Q \cup \{0\}$ . Entonces puede decir por $x=y=1$ la ecuación definitoria afirma $\frac 12+\frac 12+2\cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=\dfrac{(\frac 12)}{(\frac 12)}$ , lo cual es falso. No existe tal función.