Integral de una derivada.

Question

He estado aprendiendo el teorema fundamental del cálculo. Así, puedo entender intuitivamente que la derivada de la integral de una función dada te devuelve a esa función. ¿Es también el caso de la integral de la derivada? Y si es así, ¿se puede intuir por qué es así? Gracias de antemano

Answer 1

Desde $$\int_a^xf'(t)\,\mathrm dt=f(x)-f(a),\tag{1}$$ la respuesta corta es que la integral de la derivada es la función original, hasta una constante.

Por supuesto, $(1)$ no es cierto sin restricciones. Pero si $f'$ es continua, entonces, sí, $(1)$ se mantiene.

Answer 2

La derivada y la integral son casi funciones inversas, por lo que a su vez casi correcto. Para los polinomios simples, uno multiplica por la potencia y luego quita 1 a la potencia, y el otro suma 1 a la potencia y divide por la nueva potencia.

Para las funciones más complejas, puedes considerarlo visualmente, o incluso compararlo con la física. Si tienes una línea (velocidad), el gradiente es la aceleración. Si derivas esta línea para obtener el gradiente, sabes que tienes la función de aceleración. Ahora, si tienes una línea plana sin gradiente (aceleración), y la integras, te quedará una línea con gradiente para la función velocidad.

Esto se debe a que la aceleración representa la tasa de cambio de la distancia en relación con el tiempo, al igual que el gradiente representa la tasa de cambio de y en relación con x.

La única diferencia principal es que la integración te deja con una constante desconocida $ C $ . Puede notar que si diferencia $ f(x) = 2x^2 + 3x + 6 $ , te quedas con $ f'(x) = 4x + 3 $ y el $ 6 $ no tiene ningún efecto en la respuesta final. Esto se debe a que, no importa dónde se encuentre la línea/curva en el eje y, el gradiente para la coordenada x sigue siendo el mismo. Se necesita una coordenada del original para calcular $ C $ .

Answer 3

La integral de la derivada no siempre es igual a la función original.

ejemplo : dejar que $f$ sea una función como $$f(x) = 2x+2$$ por lo que tenemos $$f'(x)= 2$$

Si integra $f'$ , terminará con $$F(x) = 2x + c$$ con c una constante real. Así que tendrás tu función inicial sólo si $c=2$