Hace poco vi un problema: estimar lo siguiente: $cos(\frac{\pi}{15})cos(\frac{2\pi}{15})\ldots cos(\frac{7\pi}{15})$ y las opciones eran entre diferentes potencias consecutivas de diez.
¿Cómo lo haría, sin calculadora por supuesto, y hay alguna manera de acortar cualquier producto general de senos o cosenos u otras funciones trigonométricas?
Tenemos $\cos(\frac{\pi}{15})\cos(\frac{2\pi}{15})\ldots \cos(\frac{7\pi}{15})$ . Escribamos esto como $p=\cos(\frac{\pi}{15})\cos(\frac{2\pi}{15})\ldots \cos(\frac{7\pi}{15})$
Tenemos que multiplicar ambos lados de la ecuación por $$q= \sin(\frac{\pi}{15})\sin(\frac{2\pi}{15})\ldots \sin(\frac{7\pi}{15})$$
Ahora, $$p.q = \sin(\frac{\pi}{15})\sin(\frac{2\pi}{15})\ldots \sin(\frac{7\pi}{15})\cos(\frac{\pi}{15})\cos(\frac{2\pi}{15})\ldots \cos(\frac{7\pi}{15})$$
Multiplica ambos lados por $2^7$ $$2^7 p.q =[2 \sin(\frac{\pi}{15})\cos(\frac{\pi}{15})][2\sin(\frac{2\pi}{15})\cos(\frac{2\pi}{15})]\ldots [2\sin(\frac{7\pi}{15})\cos(\frac{7\pi}{15})]$$
$$2^7 p.q=\sin(\frac{2\pi}{15})\sin(\frac{4\pi}{15})\ldots \sin(\frac{14\pi}{15})$$
Ahora tenemos que aplicar la identidad $\sin\theta=\sin(\pi-\theta)$
$$2^7 p.q=\sin(\frac{\pi}{15})\sin(\frac{2\pi}{15})\ldots \sin(\frac{7\pi}{15})$$
Lo que significa $$2^7 p.q=q$$
Por lo tanto, $$p=\cos(\frac{\pi}{15})\cos(\frac{2\pi}{15})\ldots \cos(\frac{7\pi}{15})=\frac1{2^7}$$
$$\prod_{k=1}^7\cos\frac{k\pi}{15}= \cos\frac{\pi}{15}\cos\frac{2\pi}{15}\cos\frac{4\pi}{15}\left(-\cos\frac{8\pi}{15}\right)\cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{2\pi}{5}=$$ $$=-\frac{16\sin\frac{\pi}{15}\cos\frac{\pi}{15}\cos\frac{2\pi}{15}\cos\frac{4\pi}{15}\cos\frac{8\pi}{15}}{16\sin\frac{\pi}{15}}\cdot\frac{4\sin\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}}{8\sin\frac{\pi}{5}}=$$ $$=-\frac{\sin\frac{16\pi}{15}}{16\sin\frac{\pi}{15}}\cdot\frac{\sin\frac{4\pi}{5}}{8\sin\frac{\pi}{5}}=\frac{1}{128}.$$
Denotando $\zeta_{30} = e^{2\pi i/30}$ y $\zeta_{15} = e^{2\pi i/15}$ vemos que su producto es igual a $$\alpha = \frac{(\zeta_{30} + \zeta_{30}^{-1})(\zeta_{30}^2 + \zeta_{30}^{-2})...(\zeta_{30}^7 + \zeta_{30}^{-7})}{2^7} = -\frac{(1+\zeta_{15})(1+\zeta_{15}^2)...(1+\zeta_{15}^7)}{2^7\zeta_{15}}$$
Observamos que como $\zeta_{15}^{15-n}=\left(\zeta_{15}^{n}\right)^*$ y $\zeta_{15}\zeta_{15}^* = 1$ tenemos $$\alpha \alpha^* = \frac{(1 + \zeta_{15})(1+\zeta_{15}^2)...(1+\zeta_{15}^{14})}{2^{14}}=\frac{(1+1)(1 + \zeta_{15})(1+\zeta_{15}^2)...(1+\zeta_{15}^{14})}{2^{15}}$$
El numerador es $f(1)$ donde $f(X) = X^{15} + 1$ y, por tanto, es igual a $2$ .
Como también sabemos $\alpha \in \mathbb{R}^+$ esto nos dice $\alpha^2 = \frac{1}{2^{14}}$ y así $\alpha = \frac{1}{2^7}$ .
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
