Dejemos que $E$ sea un espacio de Banach, $F=\mathcal{l}^1$ y que $T\in\mathcal{L}(E,F)$ sea suryente, demuestre que $T$ tiene un inverso derecho

Question

Este es un ejercicio del libro de Brezis, 2.11. Mi intento: T es suryectiva, así que gracias al teorema de los mapas abiertos, para cada $n\in\mathbb{N}$ existe $x_n\in E$ tal que $\|x_n\|\leq c$ ( $c$ es la constante del teorema del mapa abierto) y $T(x_n)=e_n$ , donde $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ es la base canónica de $\mathcal{l}^1$ y definir la siguiente función: $S:\mathcal{l}^1\rightarrow E$ donde si $y=(y_n)_{n\in\mathbb{N}}\in\mathcal{l}^1$ entonces $$S(y)= \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty y_n(x_n)}.$$ Esta "función" está cerca de ser la inversa de la derecha de $T$ porque $T\circ S=Id$ , $S(y)$ es una serie convergente para cada $y\in\mathcal{l}^1$ et $S$ es lineal y acotada pero no puedo demostrar que esté bien definida, es decir, no sabemos si $T$ es inyectiva y quizá pueda existir un $n\in\mathbb{N}$ tal que $e_n=T(x_1)=T(x_2)$ con $x_1\neq x_2$ por lo que la definición de $S$ es ambiguo. Por favor, ¿podría explicarme qué está pasando?

Answer 1

Dejemos que $T_n(y)=\sum_{i=1}^{i=n}y_nx_n$ , $T_n$ es continua y $\|T_n(y)\|\leq \|y\|c$ .

Tenemos $lim_nT_n(x)$ existe desde $T_n(x)$ es una sucesión de Cauchy, el principio de acotación uniforme implica que existe un operador acotado $T$ tal que $T(x)=lim_nT_n(x)$ . Ver los corrolarios

https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness_principle