¿El hecho de que mi hijo italiano vaya a asistir a una escuela primaria cambiará el número de niños italianos que se espera que haya en su clase?

Question

Esta es una pregunta derivada de una situación de la vida real, cuya respuesta me ha dejado realmente perplejo.

Mi hijo va a empezar la escuela primaria en Londres. Como somos italianos, tenía curiosidad por saber cuántos niños italianos asisten ya a la escuela. Se lo pregunté a la funcionaria de admisiones al presentar la solicitud, y me dijo que tenían una media de 2 niños italianos por clase (de 30).

Ahora estoy en el momento en que sé que mi hijo ha sido aceptado, pero no tengo ninguna otra información sobre los otros niños. Los criterios de admisión se basan en la distancia, pero a efectos de esta pregunta, creo que podríamos suponer que se basan en una asignación aleatoria a partir de una amplia muestra de solicitantes.

¿Cuántos niños italianos se espera que haya en la clase de mi hijo? ¿Serán más bien 2 o 3?

Answer 1

Como siempre, hay que considerar un modelo probabilístico que describa cómo la escuela distribuye a los niños entre las clases. Posibilidades:

1. La escuela se encarga de que todas las clases tengan el mismo número de extranjeros.
2. La escuela incluso trata de asegurarse de que cada nacionalidad esté representada más o menos igual en cada clase.
3. La escuela no tiene en cuenta la nacionalidad en absoluto y distribuye al azar o en base a otros criterios.

Todos ellos son razonables. Teniendo en cuenta la estrategia 2, la respuesta a tu pregunta es no. Si utilizan la estrategia 3, la expectativa será cercana a la 3, pero un poco menor. Esto se debe a que su hijo ocupa un "hueco", y tiene una oportunidad menos de obtener un italiano al azar.

Cuando la escuela utiliza la estrategia 1, la expectativa también sube; cuánto depende del número de extranjeros por clase.

Sin conocer tu escuela no hay manera de responder a esto más perfectamente. Si sólo tiene una clase por año y los criterios de admisión son los descritos, la respuesta sería la misma que para la 3 anterior.

Calculando para 3 en detalle:

$$E(X) = 1 + E(B(29, 2/30)) = 1 + 1.9333 = 2.9333.$$

X es el número de niños italianos en la clase. El 1 proviene del niño conocido, los 29 son el resto de la clase y 2/30 es la probabilidad de que un niño desconocido sea italiano dado lo que dice la escuela. B es la distribución binomial.

Tenga en cuenta que a partir de $E(X|X\geq1)$ no da la respuesta adecuada, ya que saber que un niño concreto es italiano viola la intercambiabilidad asumida por la distribución binomial. Compárese con la la paradoja del niño o la niña donde es diferente saber que un hijo es una niña o saber que el hijo mayor es una niña.

Answer 2

Otra forma de ver esto es a nivel de niños individuales. Suponiendo que 30 niños se extraen al azar de una población (lo que usted ha indicado que podemos hacer), podemos trabajar hacia atrás para obtener la probabilidad aproximada de que un niño italiano se extraiga de esta población: $2/30$ = $1/15$ .

Dado que sabemos que uno de los 30 es italiano, sólo tenemos que calcular la probabilidad para el resto de los hijos:

$$29 \cdot 1/15 = 29/15 = 1.933\ldots$$

Por lo tanto, saber que su hijo es italiano cambia el número esperado de niños italianos en la clase a aproximadamente 2,933, que está mucho más cerca de 3 que de 2.

Answer 3

Estas son mis ideas sobre cómo enfocar esto:

Sea la variable aleatoria $S_n$ denotan el número de niños italianos en una clase que actualmente es de tamaño $n$ . Sea $X$ sea el indicador de que un nuevo niño es italiano. Supongamos que añadimos al niño $X$ a esta clase. Entonces el número esperado de niños italianos en esta clase aumentada de tamaño $n+1$ es $\mathbb E(S_n + X) = \mathbb E(S_n) + \mathbb E(X) = \mathbb E(S_n) + \mathbb P(X = 1)$ . Tenga en cuenta que la independencia no importa aquí ya que sólo estamos utilizando la linealidad de la expectativa. Si el niño $X$ se sabe que es italiano entonces $X = 1$ con probabilidad 1 por lo que hemos aumentado el valor esperado en 1.

Answer 4

Según la información de la Oficina de Admisión, el número de niños italianos sigue el binomio $\mathrm{Binom}(30, 2/30)$ asumiendo la independencia. Ahora sabe que en su clase hay al menos un niño italiano, por lo que la expectativa se convierte en $\mathbb{E}(X|X\geq1)$ . Para $X\sim \mathrm{Binom}(30, 2/30)$ esto se evalúa como $2.28$ (si me sale bien el cálculo).

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Editar. Evaluación de la expectativa: $$E[X|X\geq1]=\sum_{i=0}^{30}iP(X=i|X\geq1)=\sum_0^{30}i\cdot \frac{P(X=i, X\geq1)}{P(X\geq1)}=\sum_1^{30}i\cdot \frac{P(i)}{1-P(0)}$$

(nótese el cambio en el límite inferior de la suma en el último paso)

Answer 5

No. Su conocimiento de los eventos inminentes no cambia nada de la experiencia típica de la escuela.