Significado de la identidad $\det(A+B)+\text{tr}(AB) = \det(A)+\det(B) + \text{tr}(A)\text{tr}(B)$ (en dimensión $2$)

Question

A lo largo de, $A$ y $B$ denotar $n \times n$ matrices de más de $\mathbb{C}$. Todo el mundo sabe que el determinante es multiplicativo, y la traza es aditivo (en realidad lineal). \begin{align*} \det(AB) = \det(A)\det(B) && \mathrm{tr}(a+B)= \mathrm{tr}(A) + \mathrm{tr}(B). \end{align*} Por otro lado, el opuesto de ecuaciones \begin{align} \det(a+B) = \det(A)+\det(B) && \mathrm{tr}(AB)= \mathrm{tr}(A)\mathrm{tr}(B) \etiqueta{1}. \end{align} que no se mantenga para todos $A,B$ menos $n=1$. Por ejemplo, toma $A=B=I$ en (1), obtenemos \begin{align*} \det(a+B) = 2^n && \det(A)+\det(B) = 2 && \mathrm{tr}(AB)= n && \mathrm{tr}(A)\mathrm{tr}(B) = n^2. \end{align*} Cuando $n=$ 2 un muy curioso que sucede es que, aunque las ecuaciones (1) suelen ser falso, su suma es realmente válido. Es decir, \begin{align} \det(a+B) + \mathrm{tr}(AB)= \det(A)+\det(B)+ \mathrm{tr}(A)\mathrm{tr}(B) \etiqueta{2} \end{align} para todo $A$ y $B$ cuando $n=2$. Sin embargo, (2) no se sostiene cuando $n>2$. De hecho, especializada $B=I$ en (2), obtenemos \begin{align} \det(A+I) + \mathrm{tr}(A)= \det(A)+1+ n \cdot \mathrm{tr}(A) \end{align} o, de manera equivalente, \begin{align} \det(A+I) = \det(A)+(n-1) \cdot \mathrm{tr}(A) +1 \etiqueta{3}. \end{align} Si $n \geq 2$ y $A$ es la proyección en la primera coordenada, tenemos \begin{align} \det(A+I) = 2 && \det(A)+(n-1)\cdot \mathrm{tr}(A) +1 = n, \end{align} so (3) es sólo una identidad para $n=2$ (o, trivialmente, cuando $n=1$).

Pregunta: ¿hay algún significado especial para la ecuación \begin{align} \det(a+B) + \mathrm{tr}(AB)= \det(A)+\det(B)+ \mathrm{tr}(A)\mathrm{tr}(B) , \end{align} lo que es válido para todos los $2 \times 2$ matrices? Parece muy extraño para mí que la suma de dos obviamente falso ecuaciones debe resultar cierto. ¿Hay algún buen aplicaciones de esta identidad?

Answer 1

En un paso peatonal, esto es simplemente decir que $\det$ es una forma cuadrática con la traza como su forma polar. Es decir, para cualquier matriz $A$, vamos a $A^\estrella = \mathrm{Tr} a - a$ ser su conjugado (como en "el conjugado de la raíz del polinomio característico"). A continuación, su fórmula es equivalente a $$ \det (a+B) - \det(A) - \det(B) = \mathrm{Tr}(A^\estrellas \cdot B).$$ El lado izquierdo es la forma polar asociada a la determinante de la forma.

En un poco más de forma abstracta, para cualquier campo $k$, el álgebra de matrices $k^{2\times 2}$ es un (split) el álgebra de cuaterniones. La fórmula anterior es sólo la polar relación con la norma de la forma en este álgebra (que es el determinante de una matriz).

Answer 2

Este es el caso $n = 2$ de un teorema de 1980 de Amitsur. Es descrita (en la notación abstracta) aquí esta cuestión da la referencia al papel de Amitsur.