Dos matrices cuadradas cuya suma es igual a su producto deben conmutar

Question

Dejemos que $M$ et $N$ sean matrices cuadradas que satisfagan $M + N = MN$ demostrar que $M$ et $N$ de viaje.

Tenga en cuenta que $\lambda = 1 \notin \text{spec}(N)$ . Para ver esto, observe que $Nv = v \implies Mv + Nv = MNv \implies Mv + v = Mv \implies v = 0$ y así $v$ no sería un vector propio.

Ahora, si $Nv = \lambda v$ entonces $Mv = \mu v$ con $\mu = \frac{\lambda }{\lambda -1}$

Así, $M$ et $N$ tienen el mismo eigespacio pero $\text{Spec}(N) \cap \text{Spec}(M) = \emptyset$ .(*)

Esta condición precisa (*)implica que $M$ et $N$ son simultáneamente diagonalizables, es decir, existe una matriz invertible $P$ cuyos vectores columna son los vectores propios de $M$ que también son los vectores propios de $N$ para que $P^{-1}MP = D_{M}$ et $P^{-1}N P = D_{N}$ . La conmutatividad de $M$ et $N$ se deduce del hecho de que $D_{M}$ et $D_{N}$ que son matrices diagonales con sus respectivos valores propios en las diagonales, conmutan.

Si mi argumento no contiene una afirmación inválida, entonces invocar (*) puede seguir siendo una exageración. Agradeceré ver cualquier argumento más sencillo.

Answer 1

Podemos reescribir esta ecuación como $$ M + N = MN \implies MN - M - N + I = I \implies\\ (M - I)(N - I) = I. $$ Por lo tanto, tenemos $(N - I) = (M - I)^{-1}$ lo que significa que $N-I,M-I$ conmutar. Esto implica que $M,N$ conmutar, como se deseaba.

Answer 2

De la condición dada, se obtiene $$ MN+N^2 = MN^2, \quad NM + N^2 = NMN, $$ por lo que al restar los dos se obtiene $$ MN-NM = MN^2 - NMN = (MN-NM)N. $$ Ahora bien, si $NM-MN \neq 0$ , toma $v$ tal que $w = v(NM-MN) \neq 0$ . Entonces, al introducir esto en la ecuación anterior, se obtiene que $w$ es un vector propio izquierdo de $N$ para el valor propio 1. Pero has demostrado que 1 no es un valor propio.