$f_\ast \mathcal{O}_X$ localmente libre si $X$ Cohen-Macaulay

Question

Estoy leyendo el Teorema 27.5 aquí que establece lo siguiente:

Dejemos que $f : X \to Y$ sea un morfismo finito de esquemas noetherianos con $Y$ no singular. Entonces $X$ es Cohen-Macaulay si $f_\ast\mathcal{O}_X$ es localmente libre.

Ahora está implícito en la prueba que si $X$ es Cohen Macaulay, entonces para cualquier $y \in Y$ , $(f_\ast \mathcal{O}_X)_y$ es Cohen-Macaulay. ¿Por qué? La definición de un esquema de Cohen-Macaulay es que $\mathcal{O}_{X,x}$ ser Cohen-Macaulay en cada $x \in X$ que es no es lo mismo que diciendo que $(f_\ast \mathcal{O}_X)_y $ ser Cohen-Macaulay.

Answer 1

Un anillo $R$ es CM si $R_{\mathfrak m}$ es CM para todo ideal maximal $\mathfrak m$ de $R$ , en cuyo caso $R_{\mathfrak p}$ es CM para todo ideal primo $\mathfrak p$ de $R$ . Esto es, por ejemplo, en Eisenbud (Proposición 18.8). Elija una vecindad afín $U$ de $y$ y observar que $\mathcal O_X(f^{-1}(U))$ es CM porque todas sus localizaciones lo son. Pero esto significa que $(f_\ast\mathcal O_X)(U)$ es CM, por lo que la localización en $y$ también será CM.