Derivadas Parciales Continuas no garantiza que la Función Gradiente sea continua

Question

Sólo quiero comprobar que entiendo que las derivadas parciales continuas no significan que la función gradiente $\nabla f$ es continua. ¿Es eso correcto?

Por ejemplo $\frac{\partial f}{\partial x}$ , $\frac{\partial f}{\partial y}$ continua no significa necesariamente que $\nabla f=(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y})$ es continua.

Concluí que en base a "La continuidad en cada argumento no es suficiente para la continuidad multivariada".

Pregunta 2) ¿Qué condiciones garantizan que $\nabla f$ es continua?

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Tenemos que $\nabla f$ es continua. Ten en cuenta que:

\begin{align*} || \nabla f(x,y) - \nabla f(x_0,y_0)||^2 = (\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)- \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0))^2 + (\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)- \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0))^2 \end{align*} Así, la continuidad de las derivadas parciales implica que el gradiente es continuo.

Su cita también dice algo diferente. Dice que la continuidad en x e y respectivamente no implica la continuidad en $(x,y)\in \mathbb R^2$ . Esto es perfectamente lógico, en $\mathbb R^2$ puedes acercarte a un punto desde muchas más direcciones que sólo en paralelo a lo largo de la $x$ - y $y$ -eje.

DETALLES: Dejemos que $\epsilon >0$ se arreglen. Entonces por continuidad de las derivadas parciales sabemos que existe $\delta_1 >0$ y $\delta_2>0$ para que:

\begin{align*} ||(x,y)-(x_0,y_0)|| <\delta_1 \quad \Rightarrow \quad|\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)- \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)| < \frac{\epsilon}{\sqrt{8}}\\ ||(x,y)-(x_0,y_0)|| <\delta_2 \quad \Rightarrow \quad|\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)- \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)| < \frac{\epsilon}{\sqrt{8}} \end{align*}

Ahora dejemos que $\delta = \min \{\delta_1, \delta_2 \}$ . Ahora tenemos eso:

\begin{align*} || \nabla f(x,y) - \nabla f(x_0,y_0)||^2 &= (\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)- \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0))^2 + (\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)- \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0))^2\\ & < \frac{2\epsilon^2}{8} = \frac{\epsilon^2}{4}. \end{align*} Así tenemos: \begin{align*} || \nabla f(x,y) - \nabla f(x_0,y_0)|| < \frac{\epsilon}{2}, \end{align*} según sea necesario.

Answer 2

Cualquier función vectorial ${\bf g}=(g_1,\ldots,g_m)$ es continua (en algún punto $p$ o en general) si todas las funciones que lo componen $g_i$ son continuos. Esto es una consecuencia inmediata de las siguientes desigualdades para los vectores ${\bf x}$ , ${\bf y}$ en ${\mathbb R}^n$ : $$|x_i-y_i|\leq|{\bf x}-{\bf y}|\leq\sum_{k=1}^n|x_k-y_k|\ .$$ En particular ${\bf g}:=\nabla f$ es continua si todas las coordenadas ${\partial f\over\partial x_k}$ de $\nabla f$ son continuos.

Answer 3

Una de las formas en que las cosas pueden ir mal es si las derivadas parciales existen pero el gradiente no. Por ejemplo, $$ f(x,y) = \left\{ \begin{array}{cl} \dfrac{xy}{x^2 + y^2} & \text{if }(x,y) \not= (0,0) \\ 0 & \text{if } (x,y) = (0,0) \end{array} \right.$$ tiene la propiedad de que $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ y $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ existen y son continuas en todos los puntos $(x,y)$ pero $f$ no tiene gradiente en el origen, ya que ni siquiera es continua allí.

Por esta razón, escribir $\nabla f = ( \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})$ requiere una pequeña dosis de precaución.