Encontrar todos los submódulos de $\mathbb{Z}_{\mathbb{Z}}$

Question

Encontrar todos los submódulos de $\mathbb{Z}_{\mathbb{Z}}$

Sé que un subconjunto $A$ de $M$ es un submódulo de $R-$ módulo $M$ si:

• $0_{M} \in A$
• $\forall x,y \in A; x+y \in A$
• $\forall x \in A, \forall r \in R; xr \in A$

En este caso, con $R = \mathbb{Z}, M = \mathbb{Z}$ es que cualquier submódulo de $\mathbb{Z}_{\mathbb{Z}}$ tiene forma $n \mathbb{Z}$ con $n \in \mathbb{Z}$ ?

Answer 1

Usted es a la derecha . De hecho, se puede hacer lo siguiente:

Observación. Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo con unidad, entonces $R$ es una (izquierda) $R$ -y el submódulo $R$ -módulos de $R$ son exactamente sus ideales.

En el caso de $\mathbb{Z}$ sus ideales son sus subgrupos, es decir, el $n\mathbb{Z}$ , para $n\in\mathbb{Z}$ .