dimensión del espacio vectorial de dimensión infinita

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial sobre un campo $\mathbb{K}$ (o bien $\mathbb{C}$ o $\mathbb{R}$ ) que tiene un subconjunto infinito linealmente independiente. Demostrar que si $B$ y $B'$ son dos bases para $V,$ entonces $B$ y $B'$ tienen la misma cardinalidad. Denotemos la cardinalidad única de una base para $V$ como $\dim_{\mathbb{K}}V,$ la dimensión de $V$ sobre el campo $\mathbb{K}.$ Determinar sin apelar a la hipótesis del continuo, $\dim_{\mathbb{Q}}\mathbb{R}.$

Para cualquier conjunto $S,$ dejar $\mathcal{F}(S)$ denotan el conjunto de subconjuntos finitos de $S.$ Dejemos que $S$ sea un subconjunto infinito linealmente independiente de $V.$ Entonces, para cualquier base $B$ para $V,$ desde $B$ es linealmente independiente al máximo, $|S|\leq |B|. $ Desde $S$ es infinito, $\aleph_0\leq |S|.$ Dejemos que $B$ y $B'$ sean dos bases para $V.$ Sé que $|\mathcal{F}(B)| = |B|$ y $|\mathcal{F}(B')| = |B'|,$ por lo que basta con demostrar que $|\mathcal{F}(B)| = |\mathcal{F}(B')|,$ pero no estoy seguro de cómo mostrar esto.

En el espacio vectorial $\mathbb{R}$ en $\mathbb{Q},$ Creo, pero no estoy seguro de cómo demostrarlo, que $\{\sqrt{2},\sqrt{2}^\sqrt{2}, \sqrt{2}^{\sqrt{2}^\sqrt{2}},\cdots \}$ es un subconjunto infinito linealmente independiente. No sé cómo determinar la cardinalidad de este espacio vectorial. ¿Es $\aleph_1 = 2^{\aleph_0},$ y si es así, ¿hay alguna prueba de ello?

Answer 1

$\aleph_1$ es irrelevante: la afirmación de que $\aleph_1=2^{\aleph_0}$ es la hipótesis del continuo, que es independiente de $\mathsf{ZFC}$ y que se supone que no debes utilizar.

Lo que hay que demostrar es que $\dim_{\Bbb Q}\Bbb R=2^{\aleph_0}$ . Supongamos que $B$ es una base para $\Bbb R$ en $\Bbb Q$ . $B$ es infinito, por lo que tiene $|B|$ subconjuntos finitos, y $\Bbb Q$ tiene $\aleph_0$ subconjuntos finitos, por lo que hay como máximo $|B|\cdot\aleph_0$ combinaciones lineales de elementos de $B$ con coeficientes racionales. $B$ abarca $\Bbb R$ Así que $$2^{\aleph_0}=|\Bbb R|\le\aleph_0\cdot|B|=|B|\le|\Bbb R|=2^{\aleph_0}\,,$$ y por lo tanto $|B|=2^{\aleph_0}$ .