operador cerrado en espacios de Hilbert

Question

Si $X$ sea un subespacio cerrado de $L^2([0,1])$ y cada elemento de $X$ pertenece a $L^{\infty}([0,1])$ Así que $X$ está cerrado en $L^{\infty}([0,1])$ y $\lVert f \rVert_2 \leq \lVert f \rVert_{\infty} $ . Por tanto, X es un espacio de Banach. Si defino un mapa $T: X \rightarrow L^{\infty}([0,1]$ Tengo que demostrar que esto está cerrado. No estoy seguro de que sea continuo y estaba tratando de usar la definición de operador cerrado pero el problema es que tengo dos normas diferentes.No sé cómo usar la definición de operadores cerrados en caso de dos normas diferentes.

Answer 1

Considere una secuencia $\{(x_n,x_n)\}$ en $G(T)$ convergente a $(x,y)$ es decir $||(x_n,x_n)-(x,y)||=||x_n-x||_2+||x_n-y||_{\infty}\rightarrow 0,n\rightarrow \infty$ . A continuación $||x_n-x||_2\rightarrow 0$ y $||x_n-y||_{\infty}\rightarrow 0$ para $n\rightarrow \infty$ . Usted obtiene $x,y\in X$ y

$||x-y||_2\leq ||x-x_n||_2+||x_n-x_m||_2+||x_m-y||_2\leq||x-x_n||_2+||x_n-x_m||_2+||x_m-y||_{\infty}\rightarrow 0,n,m\rightarrow \infty$

por lo que $x=y$ y por lo tanto $(x,y)\in G(T)$