¿Primas aproximadas por valores propios?

Question

Considera la matriz infinita que comienza:

$$\displaystyle T = -\left( \begin{array}{ccccccc} +1&+1&+1&+1&+1&+1&+1&\cdots \\ +1&-1&+1&-1&+1&-1&+1 \\ +1&+1&-2&+1&+1&-2&+1 \\ +1&-1&+1&-1&+1&-1&+1 \\ +1&+1&+1&+1&-4&+1&+1 \\ +1&-1&-2&-1&+1&+2&+1 \\ +1&+1&+1&+1&+1&+1&-6 \\ \vdots&&&&&&&\ddots \end{array} \right)$$

definido por la recurrencia:

$$\displaystyle T(n,1)=-1, T(1,k)=-1, n>=k:T(n,k) = -\sum\limits_{i=1}^{k-1} T(n-i,k), n<k:T(n,k) = -\sum\limits_{i=1}^{n-1} T(k-i,n)$$

o:

A191898 \= A051731 *transpose( A143256 )

o:

$$\displaystyle T(n,k) = -a(GCD(n,k))$$

donde $a$ es la inversa de Dirichlet de la función totiente de Euler.

¿Se aproxima el mayor valor propio de la matriz T(n,k) a la secuencia de números primos anterior?

Los signos de los valores propios parecen coincidir con la función de Möbius.

Como programa de Mathematica es:

Clear[b, t, n, k, i, j]
t[n_, 1] = -1;
t[1, k_] = -1;
t[n_, k_] := 
  t[n, k] = 
   If[n >= k, -Sum[t[n - i, k], {i, 1, k - 1}], -Sum[
      t[k - i, n], {i, 1, n - 1}]];
nn = 42;
b = Range[1, nn]*0;
Do[m = Table[Table[t[n, k], {k, 1, j}], {n, 1, j}];
 b[[j]] = RankedMax[Eigenvalues[m], 1], {j, 1, nn}]
Round[b]
Table[NextPrime[i, -1], {i, 2, 43}]

con los mayores valores propios, redondeados:

{-1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 7, 8, 11, 11, 13, 13, 13, 13, 17, 17, 19, 19, 19, 19, 23, 23, 23, 23, 23, 23, 29, 29, 31, 31, 31, 31, 31, 31, 37, 37, 37, 37, 41, 41}

y la secuencia prima anterior:

{-2, 2, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 11, 11, 13, 13, 13, 13, 17, 17, 19, 19, 19, 19, 23, 23, 23, 23, 23, 23, 29, 29, 31, 31, 31, 31, 31, 31, 37, 37, 37, 37, 41, 41}

como salida.

Además, ¿los mayores valores propios de esta matriz se aproximan a secuencias infinitamente largas de números primos consecutivos a medida que el tamaño de la matriz llega al infinito?

De nuevo como un programa de Mathematica para un $200$ veces $200$ matriz es:

Clear[b, t, n, k, i, j]
t[n_, 1] = -1;
t[1, k_] = -1;
t[n_, k_] := 
  t[n, k] = 
   If[n >= k, -Sum[t[n - i, k], {i, 1, k - 1}], -Sum[
      t[k - i, n], {i, 1, n - 1}]];
nn = 200;
m = Table[Table[t[n, k], {k, 1, nn}], {n, 1, nn}];
N[Sort[Eigenvalues[m], Less]]

que da como resultado una larga lista de valores propios de los cuales los últimos son:

{..., 157.4, 163.302, 167.281, 173.217, 179.157, 181.163, 191.074, 193.065, 197.038, 199.026}

Redondeando estos nos da:

{..., 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199}

que son iguales a los primos 37 a 46.

Table[Prime[i], {i, 37, 46}]

{157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199}

---

Edición 1.8.2013: Una aproximación más precisa de los primos por los valores propios es dada por este programa de Mathematica:

Clear[nn, n, k, d, kolumn];
a[n_] := If[n < 1, 0, Sum[d MoebiusMu@d, {d, Divisors[n]}]]
Do[nn = j;
 A3 = Range[nn]*0;
 Do[
   kolumn = i;
   A1 = Table[Table[a[GCD[n, k]], {k, 1, nn}], {n, 1, nn}];
   MatrixForm[A1];
   A1[[All, kolumn]];
   MatrixForm[
    Table[Table[
      If[Mod[n, k] == 0, MoebiusMu[n/k]*A1[[All, kolumn]][[k]], 
       0], {k, 1, nn}], {n, 1, nn}]];
   a1 = Table[
     Total[Table[
       If[Mod[n, k] == 0, MoebiusMu[n/k]*A1[[All, kolumn]][[k]], 
        0], {k, 1, nn}]], {n, 1, nn}];
   a2 = Sign[a1]*Exp[Abs[a1]];
   A2 = Table[
     Table[If[Mod[n, k] == 0, a2[[n/k]], 0], {k, 1, nn}], {n, 1, nn}];
   MatrixForm[A2];
   a3 = Table[
     Total[Table[If[Mod[n, k] == 0, a2[[n/k]], 0], {k, 1, nn}]], {n, 
      1, nn}];
   A3[[i]] = a3;
   , {i, 1, nn}]
  MatrixForm[A3];
 Print[N[Log[-Min[Eigenvalues[A3]]], 12]]
 (*Print[N[Sign[Eigenvalues[A3]]Log[Abs[Eigenvalues[A3]]],12]]*)
 , {j, 1, 24}]

que da salida:

{1.00000000000+3.14159265359 I, 1.71614308398, 2.89852243027, 2.94293185770, 4.98292271242, 4.98305676486, 6.99755465240, 6.99756090303, 6.99756737456, 6.99756777041, 10.9999546191, 10.9999546211, 12.9999938562, 12.9999938562, 12.9999938562, 12.9999938562, 16.9999998874, 16.9999998874, 18.9999999847, 18.9999999847, 18.9999999847, 18.9999999847, 22.9999999997, 22.9999999997}

Redondeando estos valores obtenemos:

{1, 2, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 11, 11, 13, 13, 13, 13, 17, 17, 19, 19, 19, 19, 23, 23}

El programa anterior utiliza básicamente el producto de la función zeta de Riemann que converge a la inversa de Dirichlet de la función totiente de Euler con divisores exponenciados, análogamente al producto de la función zeta de Riemann que converge a la función de von Mangoldt. Lo explicaré más tarde, ahora es hora de dormir.

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Esta última matriz comienza:

$$A_3 = \left( \begin{array}{cccccc} e & e & e & e & e & e \\ e & e-e^2 & e & e-e^2 & e & e-e^2 \\ e & e & e-e^3 & e & e & e-e^3 \\ e & e-e^2 & e & e-e^2 & e & e-e^2 \\ e & e & e & e & e-e^5 & e \\ e & e-e^2 & e-e^3 & e-e^2 & e & e-e^2-e^3+e^6 \end{array} \right)$$

y se define tomando la transformada de Möbius de cada columna de la primera matriz $T$ , exponenciando los divisores, multiplicando con la función de Möbius y luego tomando la transformada de Möbius inversa.

$$\displaystyle T = \begin{bmatrix} +1&+1&+1&+1&+1&+1&+1 \\ +1&-1&+1&-1&+1&-1&+1 \\ +1&+1&-2&+1&+1&-2&+1 \\ +1&-1&+1&-1&+1&-1&+1 \\ +1&+1&+1&+1&-4&+1&+1 \\ +1&-1&-2&-1&+1&+2&+1 \\ +1&+1&+1&+1&+1&+1&-6 \end{bmatrix}$$

Ejemplo: Para la 6ª columna con las entradas {1,-1,-2,-1,1,2,...} por inversión de Möbius obtenemos: {1,-2,-3,0,0,6} que es igual a los divisores de $6$ veces la multiplicación elemental de la función de Möbius de los divisores de $6$ : {1,-2,-3,0,0,6}={1,2,3,0,0,6} por {1,-1,-1,0,-1,1}. Exponenciando entonces los divisores tenemos: {e^1,e^2,e^3,0,0,e^6} por {1,-1,-1,0,-1,1}. La transformada inversa de Möbius (=suma sobre los divisores) da entonces: {e-e^2, e-e^3, e-e^2, e, e-e^2-e^3+e^6}

La afirmación es que el valor propio más negativo de $A_3$ se aproxima a la secuencia de números primos anterior.

Por supuesto, esto podría explicarse más claramente empezando por los divisores exponenciados, su matriz inversa y las sumas de filas de la misma, creo.

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Utilizando el mismo algoritmo que el anterior y exponenciando y logaritmando correspondientemente los términos de la secuencia de valores propios muchas veces arbitrarias, parece que éstos -los logaritmos de los valores propios- convergen a la función de Möbius veces los números naturales.

Ejemplo, doble exponenciación de los divisores y doble logaritmo de los valores propios de una matriz de 12 por 12: {-11.0000000000,10.0000000000,-7.00000000000,6.00171666577,-5.00000000000,-3.03392765715,-2.13750865340,1.00344457743,0,0,0,0}

Ejemplo, doble exponenciación de los divisores y doble logaritmo de los valores propios de una matriz de 13 por 13: {-13.0000000000,-11.0000000000,10.0000000000,-7.00000000000,6.00171666577,-5.00000000000,-3.03392765715,-2.13750865340,1.00344457743,0,0,0,0}

que parece converger a: {1, -2, -3, 0, -5, 6, -7, 0, 0, 10, -11, 0, -13, 14, 15, 0, -17, 0, -19, 0, 21, 22, -23, 0, 0, 26, 0, 0, -29, -30, -31, 0}

O como una línea de Mathematica:

Range[32]*MoebiusMu[Range[32]]

Enlace a Pastebin con el programa Mathematica

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Clear[n, k, a1, A1, a2, nn]
nn = 8;
b1 = Expand[
   Table[Limit[
     Zeta[s]*Total[
       MoebiusMu[Divisors[n]]*Exp[Exp[Exp[Divisors[n]]]]^(s - 1)], 
     s -> 1], {n, 1, nn}]];
b1[[1]] = Exp[Exp[Exp[0]]];
A1 = Table[Table[b1[[GCD[n, k]]], {k, 1, nn}], {n, 1, nn}];
MatrixForm[A1]
a2 = Eigenvalues[A1];
N[Table[Sign[a2[[i]]] If[a2[[i]] == 0, 0, Log[Log[Abs[a2[[i]]]]]], {i,
1, nn}], nn]

La salida: {-7.0000000, 6.0000000, -5.0000000, -3.0000000, -2.1375087, 1.0034446, 0, 0}

que son:

$$\text{sign}(Eigenvalues(A_1))\log(\log(abs(Eigenvalues(A_1))))$$ de: $$A_1(n,k) = b_1(GCD(n,k))$$ donde: $$b_1(n) = \lim_{s\to 1} \, \zeta (s) \sum\limits_{d|n}\mu (d(n)) (\exp(\exp (\exp (d(n)))))^{s-1}$$

Así que en términos de este límite con la función zeta, hay un logaritmo menos que el número de exponenciales.

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Como ya se ha mencionado anteriormente, la secuencia que empieza a surgir se encuentra en los oeis:

Enlace a la secuencia de oeis

{1, -2, -3, 0, -5, 6, -7, 0, 0, 10, -11, 0, -13, 14, 15, 0, -17, 0, -19, 0, 21, 22, -23, 0, 0, 26, 0, 0, -29, -30, -31, 0}

Creo que esta tendencia se aclara con infinitos exponenciales de los divisores e igual número, menos uno, de logaritmos de los valores propios. Así que algo como:

$$\text{sign}(Eigenvalues(A_1))\log(\log(\log(\log(\log(\log(\log(abs(Eigenvalues(A_1)))))))))$$ de: $$A_1(n,k) = b_1(GCD(n,k))$$ donde: $$b_1(n) = \lim_{s\to 1} \, \zeta (s) \sum\limits_{d|n}\mu (d(n)) (\exp(\exp(\exp(\exp(\exp(\exp(\exp (\exp (d(n))))))))))^{s-1}$$

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Editar 22.8.2013: Simplificando aún más a una matriz infinita

$$A_1 = \left( \begin{array}{cccccccccccc} e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} \\ e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} & 0 \\ e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & 0 \\ e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} & 0 \\ e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} \\ e^{e^{e^e}} & 0 & 0 & 0 & e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} & 0 & 0 & 0 & e^{e^{e^e}} & 0 \\ e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} \\ e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} & 0 \\ e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & 0 \\ e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} & 0 & 0 & 0 & e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} & 0 \\ e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} \\ e^{e^{e^e}} & 0 & 0 & 0 & e^{e^{e^e}} & 0 & e^{e^{e^e}} & 0 & 0 & 0 & e^{e^{e^e}} & 0 \end{array} \right)$$

igual a $$(\exp(\exp(\exp(\exp(\exp(\exp(\exp(\exp(1))))))))))$$ si GCD(n,k)=1 y 0 en caso contrario, y tomando igual número de logaritmos de los valores propios:

$$\text{sign}(Eigenvalues(A_1))\log(\log(\log(\log(\log(\log(\log(\log(abs(Eigenvalues(A_1))))))))))$$

obtenemos los valores propios (redondeados):

{1.00000,-1.00000,-1.00000,-1.00000,-1.00000,1.00000,-1.00000,1.00000,-1.00000,1.00000,-1.00000,-1.00000,-1.00000,-1.00000,1.00000,1.00000,1.00000,-1.00000,1.00000,-1.00000,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}

que parece ser un reordenamiento de la función de Möbius:

{1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, -1, 1, 1, 0, -1, 0, -1, 0, 1, 1, -1, 0, 0, 1, 0, 0, -1, -1, -1, 0}

Mathematica:

Do[
 nn = ii;
 A1 = Table[
   Table[If[GCD[n, k] == 1, Exp[Exp[Exp[Exp[1]]]], 0], {k, 1, 
     nn}], {n, 1, nn}];
 a2 = Eigenvalues[A1];
 Print[N[Table[
    Sign[a2[[i]]] If[a2[[i]] == 0, 0, 
      Log[Log[Log[Log[Abs[a2[[i]]]]]]]], {i, 1, nn}], 6]], {ii, 1, 32}]
MatrixForm[A1]

Papel de Mussardos:

http://lanl.arxiv.org/pdf/cond-mat/9712010.pdf

http://people.sissa.it/~mussardo/Professional_web/Quantum_Mechanics_and_Number_Theory.html

Los valores propios pueden ser arbitrarios. Aquí los ceros zeta como entrada, y como salida los ceros zeta como valores propios:

(*Mathematica 8 program start*)(*The Mobius function times "n" \
approximately as the eigenvalues of a matrix*)Clear[nn, n, k, d, \
kolumn]
a[n_] := If[n < 1, 0, Sum[Im[ZetaZero[d]], {d, Divisors[n]}]]
Do[nn = j;
 A3 = Range[nn]*0;
 Do[kolumn = i;
   A1 = Table[Table[a[GCD[n, k]], {k, 1, nn}], {n, 1, nn}];
   MatrixForm[A1];
   A1[[All, kolumn]];
   MatrixForm[
    Table[Table[
      If[Mod[n, k] == 0, MoebiusMu[n/k]*A1[[All, kolumn]][[k]], 
       0], {k, 1, nn}], {n, 1, nn}]];
   a1 = Table[
     Total[Table[
       If[Mod[n, k] == 0, MoebiusMu[n/k]*A1[[All, kolumn]][[k]], 
        0], {k, 1, nn}]], {n, 1, nn}];
   a2 = Sign[a1]*Exp[Abs[a1]];
   A2 = Table[
     Table[If[Mod[n, k] == 0, a2[[n/k]], 0], {k, 1, nn}], {n, 1, nn}];
   MatrixForm[A2];
   a3 = Table[
     Total[Table[If[Mod[n, k] == 0, a2[[n/k]], 0], {k, 1, nn}]], {n, 
      1, nn}];
   A3[[i]] = a3;, {i, 1, nn}] MatrixForm[A3];
 (*Print[N[Log[Log[-Min[Eigenvalues[A3]]]],12]]*)
 Print[N[Sign[Eigenvalues[A3]] Log[Abs[Eigenvalues[A3]]], 12]], {j, 1,
   10}]
(*program end*)

Answer 1

Esto no es una respuesta, pero es demasiado largo para un comentario.
¿Sabes que la descomposición L-D-U da lugar a matrices triangulares cuyas entradas son constantes para cualquier dimensión? Eso significa que las matrices de tamaños finitos pueden ser vistas como versiones simplemente truncadas de la matriz infinita, y para las matrices con tamaño que va al infinito deben entonces aproximarse a los primos por sus valores propios arbitrariamente exactos.
También porque T es simétrico, el L y U -Los factores se transponen entre sí.
Aquí está la parte superior izquierda del L -(la columna de la izquierda es el índice de la fila): $$\small \small \begin{array} {rr} \begin{array} {r} 1 \\ 2 \\3\\4 \\5 \\6 \\7 \\8 \\9 \\10 \\11 \\12 \\ \end{array} & \begin{bmatrix} 1 & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ 1 & 1 & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ 1 & 0 & 1 & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ 1 & 1 & 0 & 1 & . & . & . & . & . & . & . & . \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & . & . & . & . & . & . & . \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & . & . & . & . & . & . \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & . & . & . & . & . \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & . & . & . & . \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & . & . & . \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & . & . \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & . \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{array}$$

y la matriz diagonal D $$\small \small \operatorname{diag} (D)=\begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 & 0 & 5 & -6 & 7 & 0 & 0 & -10 & 11 & 0 \end{bmatrix}$$

Es agradable ver las filas en L en los índices de fila primos, en general parecen ser indicadores de los factores primos del índice de fila y del D no me queda muy claro: el signo que da el número de factores primarios diferentes). Si tuviéramos los verdaderos patrones, esto permitiría generar el L y el D matrices directamente; la construcción de la T ¡por el procedimiento recursivo es mucho tiempo!

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[actualización] Con una heurística un poco mejorada el patrón de las entradas en D parece ser
$\qquad \qquad \small D_1 = -1$
$\qquad \qquad \small D_k = 0 \qquad \text{if k is not squarefree}$
$\qquad \qquad \small D_k = -k \dot (-1)^{w(k)} \qquad \text{if k is squarefree}$
donde $w(k)$ es el número de factores primarios distintos. Utilizando la función de Moebius podemos escribir $$D_k = -k \cdot \operatorname{Moebius}(k)$$

Las entradas en L parecen ser: para una fila r en una columna c tenemos 1 si $c=r$ o si ( c es libre de cuadrados y es un divisor de r ).

Una rutina en Pari/GP sin llamada recursiva que produce rápidamente la matriz de tamaño mxm :

{make_T(m)=local(M);M=matrix(m,m);
for(c=1,m,M[1,c]=M[c,1]=-1);
for(r=2,m, for(c=2,r, M[r,c]=M[c,r]= - sum(i=1,c-1,M[r-i,c])));
return(M);}

Answer 2

No es una respuesta completa, pero basándome en la respuesta de Gottfried Helms, en su lugar factorizaría la matriz como se indica a continuación, para explicar el fenómeno en el que la exponenciación repetida da valores propios que son la función de Möbius por exponentes repetidos de $n$ .

$$T=A.B$$

donde: $$A=\text{If } n \bmod k=0 \text{ then } 1 \text{ else } 0$$ $$n=1,2,3,4,5...N$$ $$k=1,2,3,4,5...N$$

y: $$B=\text{If } k \bmod n=0 \text{ then } \exp (...\exp (n)...) \mu (n) \text{ else } 0$$ $$n=1,2,3,4,5...N$$ $$k=1,2,3,4,5...N$$ $\mu(n)$ es la función de Möbius.

Porque $B$ es una matriz triangular (superior), los valores propios de $B$ son simplemente los elementos diagonales de $B$ : $$\exp (...\exp (n)...) \mu (n)$$ $$n=1,2,3,4,5...N$$

Ahora parece probable que si los valores propios de $B$ son mucho mayores que los valores propios de $A$ entonces los valores propios de $B$ llegarán a dominar, y los valores propios de $A.B$ será aproximadamente igual a los valores propios de $B$ .

Answer 3

Dejemos que $A$ sea la matriz: $$A=\text{If } n \bmod k=0 \text{ then } 1 \text{ else } 0$$ $$n=1,2,3,4,5...N$$ $$k=1,2,3,4,5...N$$

y que $B$ sea la matriz: $$B=\text{If } k \bmod n=0 \text{ then } n \cdot \mu (n) \text{ else } 0$$ $$n=1,2,3,4,5...N$$ $$k=1,2,3,4,5...N$$ $\mu(n)$ es la función de Möbius.

El producto matricial $A.B$ es entonces:

$$\displaystyle T = A.B = \left( \begin{array}{ccccccc} +1&+1&+1&+1&+1&+1&+1&\cdots \\ +1&-1&+1&-1&+1&-1&+1 \\ +1&+1&-2&+1&+1&-2&+1 \\ +1&-1&+1&-1&+1&-1&+1 \\ +1&+1&+1&+1&-4&+1&+1 \\ +1&-1&-2&-1&+1&+2&+1 \\ +1&+1&+1&+1&+1&+1&-6 \\ \vdots&&&&&&&\ddots \end{array} \right)$$

Los valores propios son los mismos para los productos matriciales $A.B$ y $B.A$ .
$B.A$ es una matriz que comienza:

$$B.A=\left( \begin{array}{cccccccc} 8 & 4 & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \cdots \\ -8 & -8 & -2 & -4 & 0 & -2 & 0 & -2 \\ -6 & -3 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 & -5 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 6 & 6 & 0 & 0 & 6 & 0 & 0 \\ -7 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \vdots&&&&&&&\ddots \end{array} \right)$$

Todo lo que puedo decir es que el número primo $-7$ en la diagonal parece bastante solitaria, y por tanto el mayor valor propio de la matriz negada estará probablemente cerca de ella.

Answer 4

Esta matriz relacionada parece dar las sumas parciales del totiente de Euler por un factor:

(*Mathematica*)
Clear[n, s, a, A];
mm = 60;
Monitor[eig1 = Table[
   nn = ii;
   a = Table[N[0], {n, 1, nn}];
   a[[1]] = ii;
   A = Table[Table[a[[GCD[n, k]]], {k, 1, nn}], {n, 1, nn}];
   Max[Eigenvalues[A]], {ii, 1, mm}], ii]
ListLinePlot[Differences[%]]
(*end*)