radical de un cierto ideal de anillo polinómico de dieciséis variables, generado por las entradas de ciertas matrices

Question

Consideremos el anillo polinómico $R=\mathbb C[x_1,x_2,...,x_{16}]$ , y establecer

$$X=\begin{pmatrix} x_1 &x_2&x_3 &x_4\\ x_5&x_6& x_7&x_8\\x_9&x_{10}&x_{11}&x_{12}\\x_{13}&x_{14}&x_{15}&x_{16}\end{pmatrix}.$$

Ahora, utilizando estas tres matrices

$$L=\begin{pmatrix}0&-1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0 \end{pmatrix}$$ $$M=\begin{pmatrix}0&0&0&-1\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}$$ $$N=\begin{pmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}$$

creamos polinomios $f_i, g_i,$ y $h_i$ de la siguiente manera:

$$XLX^t-L=\begin{pmatrix} f_1 &f_2&f_3 &f_4\\ f_5&f_6& f_7&f_8\\f_9&f_{10}&f_{11}&f_{12}\\f_{13}&f_{14}&f_{15}&f_{16}\end{pmatrix}$$

$$XMX^t-M=\begin{pmatrix} g_1 &g_2&g_3 &g_4\\ g_5&g_6& g_7&g_8\\g_9&g_{10}&g_{11}&g_{12}\\g_{13}&g_{14}&g_{15}&g_{16}\end{pmatrix}$$

$$XNX^t-N=\begin{pmatrix} h_1 &h_2&h_3 &h_4\\ h_5&h_6& h_7&h_8\\h_9&h_{10}&h_{11}&h_{12}\\h_{13}&h_{14}&h_{15}&h_{16}\end{pmatrix}$$

Por último, dejemos que $I = (f_i, g_i, h_i)$ sea el ideal generado por estos $48$ polinomios. Entonces cómo demostrar que el radical de $I$ es decir $\sqrt I$ está generado por doce polinomios lineales y un polinomio cuadrático ?

Nullstellensatz puede ser de ayuda ... pero no lo veo del todo ...

NOTA : Todas las matrices $L,M,N$ son ortogonales, por lo que las tres ecuaciones de definición pueden escribirse como $(XL)(LX)^t=(XM)(MX)^t=(XN)(NX)^t=Id$ . Ahora bien, si podemos encontrar algún patrón en $XL,LX,MX,XM,NX,XN$ entonces podría ser útil encontrar el conjunto cero del ideal $I$ ... También $L,M,N$ son matrices simétricas sesgadas y , $LM=-N$ ... esto significa $L,M,N$ funciona como el $i,j,k$ en el anillo Quaternion ...

Answer 1

Primero, hagamos todos los cálculos sobre $\mathbb{R}$ n lugar de sobre $\mathbb{C}$ . Facilitará las cosas, pero no cambiará el resultado.

Reescribamos un poco las ecuaciones: Se tiene $$X\cdot (LX^tL^t)=Id$$ y de forma similar para $M$ y $N$ . En particular, su sistema es ahora equivalente al enviado de ecuaciones; $$LX^tL^t = MX^tM^t = NX^tN^t= X^{-1}.$$ Las dos primeras igualdades significan que $X^t$ conmuta con las matrices $M^{-1}L$ y $N^{-1}L$ (ya que para estas matrices la transposición es la inversa). Se trata de un conjunto de ecuaciones lineales en $X^t$ (y por lo tanto en $X$ ). Dado que $LM=-N$ y así sucesivamente, esto equivale a que $X^t$ se desplaza con $L$ , $M$ y $N$ . Dejemos ahora $H$ sea el álgebra de cuaterniones de cuatro dimensiones con base $\{1,i,j,k\}$ . Entonces $L$ , $M$ y $N$ representan la multiplicación desde la izquierda por $i$ , $j$ y $k$ respectivamente. Como los cuaterniones forman un álgebra de división, lo único que conmuta con la multiplicación desde la izquierda con $L$ , $M$ y $N$ es la multiplicación desde la derecha con alguien del álgebra de cuaterniones. Escribamos tal elemento como $a+bi+cj+dk$ . Entonces se consigue que su matriz $X$ tiene la forma $$\begin{pmatrix} a & -b & -c & -d \\ b & a & d& -c \\ c & -d& a& b \\ d & c& -b& a \\ \end{pmatrix}$$ Escribir las entradas originales de $X$ en términos de estos números te da las 12 ecuaciones deseadas. Ahora nos queda la ecuación $$XLX^tL^t=Id$$ que es cuadrática. Obsérvese que como $X$ se desplaza con $L$ y como $L$ es ortogonal, esto equivale a $$XX^t=Id.$$ Pero se puede ver fácilmente, por un cálculo directo, que esto es equivalente a $a^2+b^2+c^2+d^2 = 1$ . Dado que el polinomio $a^2+b^2+c^2+d^2-1$ es irreducible, se obtiene que el ideal $I$ es radical, y que está generado por 12 polinomios lineales y un polinomio cuadrático.