¿Cómo pruebo la existencia de números reales que satisfagan esta desigualdad?

Question

Sean $a_1,...,a_n$ números reales positivos.

¿Cómo puedo demostrar que:

Para cualquier $\epsilon>0$, existen números reales positivos $x_1,...,x_n$ tal que $\prod_{i=1}^n (a_i + x_i) - \prod_{i=1}^n a_i \epsilon$?

Answer 1

Pista:

Podrías intentar inducción en $n$.

Para el caso base, $n=1$, simplemente puedes elegir $x_1=\epsilon$.

Si sabes que el resultado funciona para $n$, supongamos que tenemos $a_1,\ldots,a_{n+1}$. Entonces $$ \begin{align*} \prod_{i=1}^{n+1}(a_i+x_i)-\prod_{i=1}^{n+1}a_i&=(a_{n+1}+x_{n+1})\prod_{i=1}^{n}(a_i+x_i)-a_{n+1}\prod_{i=1}^{n}a_i\\ &=a_{n+1}\left[\prod_{i=1}^{n}(a_i+x_i)-\prod_{i=1}^{n}a_i\right]+x_{n+1}\prod_{i=1}^{n}(a_i+x_i). \end{align*} $$ ¿Puedes ver, a partir de aquí, cómo elegir $x_1,\ldots,x_n$, y luego usar eso para determinar $x_{n+1}$?

Answer 2

Tal vez me esté perdiendo algo, pero para $a_1, \ldots, a_n$ fijos,

$ \prod_{i=1}^n (a_i+t) - \prod_{i=1}^n a_i$ es una función continua de $t$, y es igual a $0$ si $t=0$. Supongamos que $\epsilon > 0$. Para valores suficientemente pequeños de $|t|$,

$$ \prod_{i=1}^n (a_i+t) - \prod_{i=1}^n a_i < \epsilon.$$

Ahora simplemente establezca $x_1 = x_2 = \cdots x_n = t$, donde $t$ se elige positivo y suficientemente pequeño según se describe arriba.