Tengo una integral que es una media de alguna función (desconocida) $f$ sobre el ángulo sólido:
$$\bar{f} = \frac{1}{4\pi} \iint\limits_\Omega f \sin\theta~\mathrm{d}\theta~\mathrm{d}\phi$$
Utilizo la convención de la física donde $\theta$ es el ángulo polar y $\phi$ es el ángulo acimutal.
Por razones computacionales, sería útil refundir esto como una integral de volumen en coordenadas cartesianas (las razones exactas están un poco fuera del alcance de esta pregunta).
Mi problema es que esencialmente quiero refundir una integral de superficie como una integral de volumen. Me viene a la mente el teorema de la divergencia, pero no estoy seguro de cómo hacer la transformación sin hacer ninguna suposición sobre $f$ .
Mi intento:
Si escribimos la ecuación como
$$ \bar{f} = \frac{1}{4\pi} \iint\limits_S f \left(\frac{\hat{r} \cdot \hat{n}}{r^2}\right) \mathrm{d}S $$
para una superficie $S$ (una fórmula que encontré aquí ), podríamos definir $\vec{F} = f \hat{r} / r^2$ y luego utilizar el teorema de la divergencia para escribir como una integral de volumen. ¿Esto hace alguna suposición sobre $f$ ? ¿Qué es exactamente la superficie $S$ ¿en este contexto?
