Serie doble divergente $\sum_{i=1}^I\sum_{j=1}^J\frac{1}{i^2 + j^2} > \int_1^{I+1}\int_1^{J+1} \frac{dxdy}{x^2 + y^2}$ .

Question

Para mostrar la serie doble $\sum_{i,j \in \mathbb{Z}^+}\frac{1}{i^2 + j^2}$ diverge, puedo comparar las sumas parciales con la integral doble:

$$\sum_{i=1}^I\sum_{j=1}^J\frac{1}{i^2 + j^2} > \int_1^{I+1}\int_1^{J+1} \frac{dxdy}{x^2 + y^2}$$

y tomar el límite de la integral como $I,J \to \infty$ . Sé que $dxdy/(x^2+y^2)$ se comporta como $rdrd\theta/r^2$ en coordenadas polares por lo que la integral debería divergir como $\log(r)$ como $r \to \infty$ .

Tengo problemas para ver cómo la región $[1,I+1]\times[1,J+1]$ se transforma en coordenadas polares y me gustaría ver una prueba rigurosa de que la integral diverge.

Gracias.

Answer 1

Asumiendo WLOG que $J \leqslant I$ y cambiando las variables como $x = 1+s, \, y = 1+t$ tenemos

$$\begin{align} A_{I,J}=\int_1^{I+1}\int_1^{J+1} \frac{dx \, dy}{x^2 + y^2}\end{align} \geqslant \int_0^{J}\int_0^{J} \frac{ds \, dt}{s^2 + t^2 + 2(s+t) + 2}$$

Ahora cambia a coordenadas polares $s = r \cos \theta, \, t = r \sin \theta $ .

El sector $S = \{(r,\theta): 0 \leqslant r \leqslant J, \,0 \leqslant \theta \leqslant \pi/2\}$ es un subconjunto del cuadrado $[0,J]^2$ . Como el integrando es no negativo y $1 \leqslant \cos \theta + \sin \theta \leqslant \sqrt{2}$ pour $0 \leqslant \theta \leqslant \pi/2$ tenemos

$$\begin{align}A_{I,J} &\geqslant \int_0^{\pi/2}\int_0^J \frac{r\, dr\, d\theta}{r^2 + 2r(\cos \theta + \sin \theta)+2}\\ &\geqslant \int_0^{\pi/2}\int_0^J \frac{r\, dr\, d\theta}{r^2 + 2\sqrt{2}r+2} \\ &= \frac{\pi}{2}\int_0^J\frac{r}{(r+\sqrt{2})^2} \, dr \\ &=\frac{\pi}{2}\int_0^J\frac{1}{r+\sqrt{2}} \, dr - \frac{\pi}{2}\int_0^J\frac{\sqrt{2}}{(r+\sqrt{2})^2} \, dr \\ &= \frac{\pi}{2}\left(\log(J + \sqrt{2}) + \frac{\sqrt{2}}{J + \sqrt{2}} - (1 + \log \sqrt{2}) \right)\end{align}$$

El RHS tiende a $+\infty$ como $I,J \to \infty$ .

Answer 2

$\int_1^{I+1}\int_1^{J+1}\frac{dxdy}{x^2+y^2}\gt \frac{\pi}{2}\int_{\sqrt{2}}^{min(I,J)+1}\frac{dr}{r}$ que se convierte en infinito como $log(min(I,J)+1)$ ya que ambos indicios se vuelven infinitos.