Cubrir una variedad afín por un número finito de subvariedades afines irreducibles

Question

Tomemos un esquema afín noetheriano. ¿Puede ser cubierto por un número finito de subesquemas afines irreducibles localmente cerrados?

Un ejemplo: tomemos el espacio afín de 4 dimensiones sobre un campo y consideremos la unión de dos planos que se interesan en un solo punto, una cobertura es {el primer plano, el segundo plano menos una línea que pasa por el punto de intersección, la línea que pasa por el punto de intersección menos el punto de intersección}.

Answer 1

Sí, y la suposición de que $X$ es afín es innecesario. Sea $X$ sea un esquema noetheriano, que podemos suponer que es no vacío. Por inducción noetheriana, podemos suponer que el resultado se conoce para cada subesquema propio cerrado de $X$ . Sea $X_1,\dots,X_n$ sean los componentes irreducibles de $X$ y que $U=X\setminus (X_2\cup \dots\cup X_n)$ . Entonces $U$ está abierto en $X$ y denso en $X_1$ y por lo tanto irreducible. Sea $V$ sea cualquier subconjunto abierto afín no vacío de $U$ que seguirá siendo irreducible. Por la hipótesis de inducción, podemos descomponer $X\setminus V$ como una unión finita de subesquemas afines irreducibles localmente cerrados. Añadiendo $V$ a esta descomposición, obtenemos una descomposición de $X$ .