El problema es así:
Hay $N$ puntos $(x_0,y_0),(x_1,y_1),\dots,(x_{N-1},y_{N-1}) \in \mathbb{R}^2$ donde $x_0 < x_1 < \cdots < x_{N-1}$ . La interpolación spline cúbica debería dar $N-1$ polinomios
$$ S_j(x) = a_j+b_j(x-x_j)+c_j(x-x_j)^2+d_j(x-x_j)^3 $$
donde $j \in \{0,1,\dots,N-2\}$
En mi libro de texto en la sección "Construcción de una Spline Cúbica"
el autor convierte un sistema de $4(n-1)$ (todas las variables) a un sistema de $(n-1)$ (sólo $c_i$ variables) sustituyendo otras variables con la ayuda de ecuaciones tomadas de las condiciones
- $S_i(x_i) = S_{i+1}(x_i)=y_i$ para $i \in \{0,1,\dots,N-1\}$
- $S_i(x_{i+1}) = S_{i+1}(x_{i+1})$ pour $i \in \{0,1,\dots,N-1\}$
- $S_i^\prime(x_{i+1}) = S^\prime_{i+1}(x_{i+1})$ pour $i \in \{0,1,\dots,N-2\}$
- $S_i^{\prime\prime}(x_{i+1}) = S^{\prime\prime}_{i+1}(x_{i+1})$ pour $i \in \{0,1,\dots,N-2\}$
- $S_0^{\prime\prime}(x_{0}) = S^{\prime\prime}_{n-1}(x_{n}) = 0$
Mi problema es que cuando el texto pasa a aplicar la condición 4 . dice :
"Otra relación entre los coeficientes de $S_j$ se obtiene definiendo $c_n = S_i^{\prime\prime}(x_n)/2$ y aplicando la condición (4). Entonces, para cada j = 0, 1,... , n 1," $$c_{j+1} = c_j + 3 d_j h_j$$
suponiendo que $h_j = x_{j+1} - x_{j}$
La parte donde dice que definimos $c_n = S_i^{\prime\prime}(x_n)/2$ no tiene sentido. ¿De dónde salió la idea de esta definición? Evidentemente, no salió de una ecuación, ya que sólo tenemos $s_0$ hasta $s_{n-1}$ así que $c_n $ no existe en ninguno de ellos.
¿Y cómo es compatible con nuestros otros supuestos? Quiero decir que podría haber definido $d_n = S_i^{\prime\prime}(x_n)/2$ o etc. pero entonces tengo que justificar mi elección y decir cómo es compatible con otras partes del problema.
En realidad esperaba que el texto utilizara la condición 5 para obtener la ecuación $c_{n-1} = 3 d_{n-1} h_{n-1}$ con variables $c_{n-1}$ y $d_{n-1}$ y de alguna manera eliminar $d_{n-1}$ y resolver todo el sistema.
