¿qué $|x-2| < 1$ significa?

Question

Estoy estudiando algunas de desigualdad de las propiedades de los valores absolutos y me encontré con algunas expresiones como $|x-2| < 1$ que yo simplemente no puede obtener el significado de ellos.

Digamos que tengo esta expresión

$$ |x|<1.$$

Esto significa que $x$ debe estar en algún lugar menos de $1$ o mayor que $-1$, lo que significa que

$$-1 < x < 1.$$

Así que, básicamente, $|x|<1$ $-1 < x < 1$ son la misma cosa.

$$|x|<1 \iff -1 < x < 1 \iff\text{"Somewhere less that $1$ or greater than $-1$" or between $-1$ and $1$}$$

Ahora digamos que tengo

$$ |x-2| < 1.$$

Esto significa que el resultado de la expresión de $|x-2|$ debe ser menor que $1$ o mayor que $-1$? Lo que hace que también significa para $x$? Es que $x$ debe ser un valor que cuando restamos $2$ el resultado tiene que permanecer dentro de la cota de $-1$ o $1$ o menos de cero? Si $x =5$ la declaración de falla debido a $3 <1$ es falso. Así se tiene que determinar un límite de $x$'s que satisfacen esta ecuación a la derecha?

si $|x| = |-x|$

¿qué puede significar esto para

$|x-2| = |-x-2|$ o $|x+2|$ o $|-x+2|$ ?

Gracias

Answer 1

La interpretación geométrica, en $\Bbb R$ $|x-a|<b$ ' $x$ está a una distancia menor que $b$$a$'.

En tu ejemplo, $|x-2|<1$, significa que $x$ está a una distancia de más de $1$ $2$ e (a la distancia) nunca llega a $1$.

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Para interpretar $|x-2|=|-x-2|$, me parece útil para la primera nota que $|-x-2|=|x-(-2)|$ (żpor qué?). La igualdad de $|x-2|=|x-(-2)|$ dice que $x$ está a igual distancia entre las $2$$-2$.

Más generalmente, $|x-a|=|x-b|$ dice que $x$ está a la misma distancia entre el $a$$b$.

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Para resumir, leer $|x-a|$ a medida que la distancia entre el$x$$a$.

Answer 2

La forma de pensar de $$|x-y|$$ is as the distance from $x$ to $s$. For example, is $|x-y| = |y-x|$? Yes, it is, because the distance from $x$ to $s$ is the same as the distance from $s$ to $x$.

Es $$|x-y| + |y-z| = |x-z|?$$ This says that the distance from $x$ to $s$, plus the distance from $s$ to $z$, is equal to the distance from $x$ to $z$. That would mean that $s$ was on the direct path from $x$ to $z$. So we would expect it to be false if $s$ was not on this direct path; say if $x = 2, z=4,$ but $y = 17$. And indeed $|2-17| + |17-4| \ne|2-4|$, so the equation above is not always true. But we might guess from this understanding that $$|x-y| + |y-z| \ge |x-z|,$$ with equality occurring just if $y$ is between $x$ and $z$. Y, de hecho, esto es cierto siempre.

Con esta idea, lo que hace $$|x|$$ mean? It should be the same as $$|x-0|,$$ which is the distance from $x$ 0. Y eso es correcto.

Ahora, ¿qué $$|x-2| < 1$$ mean? It means that the distance from $x$ to 2 is less than 1. So another way to write this is $$1\lt x\lt 3.$$

Answer 3

Sabemos que: $$|x-2|= \left\{ \begin{array}{ll} -x+2 & \quad x < 2 \\ x-2 & \quad x \ge 2 \end{array} \right.$$ Ahora si tenemos que hacer $|x-2|<1$ así: $$x\ge2\to x-2<1\to x<3\\\ x<2\to 2-x<1\to x>1$$ This means that , overall, we have $1<x<3$.

Answer 4

Sólo sustituye $|x|<1$$-1<x<1$, que puede sustituir a $|x-2|<1$$-1<x-2<1$. La adición de $2$ en todas las tres partes de las hojas de la orden sin cambios, por lo $-1+2<x-2+2<1+2$, es decir,$1<x<3$.

A ver qué signos son correctos en $|x-2|=|\pm x\pm 2|$, tenga en cuenta que el valor absoluto no cambiar cuando nos reemplazar su argumento con su negativa. El argumento aquí es $x-2$, el negativo de la misma es $-(x-2)$ y que puede ser simplificado a $-x+2$. Por lo tanto $|x-2|=|-x+2|$. (Por supuesto, en casos raros, también puede ser cierto que $|x-2|=|x+2|$, es decir, precisamente cuando $x=0$)