Se trata de un resultado que conozco desde hace mucho tiempo y cuya prueba considero que nunca he comprendido realmente. Voy a ofrecer una versión específica de la misma (frente a la formulación más general).
Dejemos que $A \subset \mathbb{R}$ y que $f_n : A \to \mathbb{R}$ sea una secuencia de funciones continuas sobre $A$ . Además, supongamos que $f_n$ es uniformemente Cauchy es decir, para cualquier $\epsilon > 0$ tenemos algunos $N := N(\epsilon)$ , tal que para todo $m ,n \geq N$ : $$ \sup_{x \in A} | f_n(x) - f_m(x) | < \epsilon $$ Entonces, de hecho, existe una función $f:A \to \mathbb{R}$ para lo cual $f_n \to f$ de manera uniforme.
Este es básicamente el resultado que $C(X)$ está completa cuando $X$ es digamos un espacio compacto de Hausdorff (aunque aquí no suponemos $A$ es necesariamente compacto, no es que importe).
La prueba que he visto procede así:
Para cualquier $x_0 \in A$ la secuencia $f_n(x_0)$ es una Secuencia de Cauchy en $\mathbb{R}$ como: $$ |f_n(x_0) - f_m(x_0)| \leq \sup_{x \in A} |f_n(x) - f_m(x)| < \epsilon $$ para $n,m$ suficientemente grande. Ergo, el límite puntual de la $f_n$ existe para cualquier $x \in A$ por la integridad de $\mathbb{R}$ y, por tanto, la función candidata obvia $f$ viene dada puntualmente por $f(x) := \lim_{n \to \infty} f_n(x)$ .
Esto está muy bien, y todo lo que hay que demostrar ahora que $f_n$ converge uniformemente a $f$ en lugar de (sólo) puntualmente. Para ello, consideramos: \begin{align*} \sup_{x\in A} |f_n(x) - f(x)| &= \sup_{x \in A}|f_n(x) - f_m(x) + f_m(x) - f(x)| \\ &\leq \sup_{x \in A} |f_n(x) - f_m(x)| + \sup_{x\in A}|f_m(x) - f(x)| \end{align*} El primer término: $$ \sup_{x \in A} |f_n(x) - f_m(x)| $$ es pequeño para $n,m$ elegido suficientemente grande. El segundo término, no estoy seguro de qué hacer con él. La mayoría de las pruebas que he visto escriben algo como: $$ |f_m(x) - f(x)| = \lim_{n \to \infty} \sup_{x\in A}|f_m(x) - f_n(x)| $$ y luego concluir que el término de la derecha es pequeño, pero francamente con este tipo de razonamiento, no me parece entender por qué no se podría haber hecho en el primer paso. En particular, el tipo de toma de límites que se hace aquí es en el sentido puntual, por lo que no parece tener sentido intercambiar la norma y el límite, ya que los límites sólo se intercambian con las normas si el límite se toma en la topología de la norma. Sin embargo, estoy seguro de que estoy pensando demasiado en esto.
Agradecería que me ayudaran con esta pregunta - francamente me da vergüenza hacerla, como alguien especializado en el análisis funcional, tengo dificultades para demostrar un hecho tan simple.
También, por supuesto, no necesitamos el $f_n$ sea continua - esto sólo es necesario si queremos que el límite $f$ para ser continua.
