¿Una "madre de todos los grupos"? ¿Qué tipo de estructuras tienen la "madre de todas"?

Question

Para los campos ordenados, tenemos una "madre de todos los campos ordenados", los números surrealistas $\mathbf{No}$ un "campo" de clase propia que incluye (una copia isomorfa de) cualquier otro campo ordenado como subcampo. Entonces, me pregunté: ¿existe un objeto madre similar para otras clases de objetos, como los grupos? Es decir, ¿existe algún "metagrupo" que sea un "grupo" de clase propia del que todos los demás grupos sean subgrupos? Si es así, ¿cómo podría construirse?

Mi intento de construcción fue este. Se basa en el teorema de Cayley, según el cual todo grupo es isomorfo a algún grupo de permutaciones. En particular, los grupos simétricos sobre $n$ cartas, $S_n$ pueden considerarse como "grupos madre" para todos los grupos finitos de orden $n$ o menos: cada grupo de este tipo está incrustado isomórficamente como un subgrupo de $S_n$ . También es posible ver cómo esto es válido para grupos infinitos: hay grupos $\mathrm{Per}_{\kappa}$ para infinitos cardenales $\kappa$ de todas las permutaciones (funciones biyectivas) de un conjunto de cardinalidad $\kappa$ que actúan como grupos madre para todos los grupos de cardinalidad $\kappa$ o menos.

Así que lo que me imagino es la siguiente idea. Empezamos con una clase de conjuntos tal que:

1. se ordenan por inclusión,
2. cada cardinalidad se representa exactamente una vez

Aquí utilizamos los ordinales iniciales de los cardinales, interpretados como conjuntos de la forma habitual (asumimos aquí el axioma de elección). Luego consideramos la construcción sobre cada ordinal inicial $I_{\alpha}$ (que se indexa con ordinales $\alpha$ de tal manera que a medida que subimos de 0 a $\omega$ , pero sin llegar a $\omega$ , $I_{\alpha}$ es el ordinal finito $\alpha$ entonces $I_{\omega}$ es $\omega$ el ordinal inicial del cardinal $\aleph_0$ entonces $I_{\omega+1}$ es $\omega_1$ el ordinal inicial del cardinal $\aleph_1$ etc.) su correspondiente grupo de permutaciones, $\mathrm{Sym}(I_\alpha)$ . Imaginamos ahora la mega-unión del tamaño de la clase de todos estos $\mathrm{Sym}(I_\alpha)$ es decir

$$\mathbf{SYM} = \bigcup_{\alpha \in \mathbf{On}} \mathrm{Sym}(I_\alpha)$$ .

A continuación, procedemos a definir una composición de permutaciones en $\mathbf{SYM}$ . Sea $p$ y $q$ sean dos de esas permutaciones. Si $\mathrm{dom}(p) = \mathrm{dom}(q)$ entonces su composición $p \diamond q = p \circ q$ - la composición habitual. Sin embargo, si $\mathrm{dom}(p) \ne \mathrm{dom}(q)$ entonces tenemos que extender primero una u otra permutación. Definir, para $\mathrm{dom}(p) < \mathrm{dom}(q)$ ,

$$p^q: \mathrm{dom}(q) \mathrm{dom}(q)$$

$$p^q(a) = \begin{cases}p(a),&\ \mathrm{if}\ a \in \mathrm{dom}(p)\\ a,&\ \mathrm{otherwise}\end{cases}$$

.

Entonces, si $\mathrm{dom}(p) < \mathrm{dom}(q)$ , $p \diamond q = p^q \circ q$ y si $\mathrm{dom}(q) < \mathrm{dom}(p)$ , $p \diamond q = p \circ q^p$ . A continuación, definimos una relación de equivalencia ~ sobre las permutaciones en $\mathbf{SYM}$ de tal manera que dos son equivalentes si una puede extenderse a la otra de la manera anterior. Entonces se puede definir una operación entre clases de equivalencia de composición tomando dos permutaciones representativas y componiendo. Por supuesto, esto se encuentra con una dificultad, ya que no podemos juntar estas clases de equivalencia, ya que ellas mismas son clases propias. Pero podemos tomar el representante definido en la clase más baja posible $I_\alpha$ . Denotemos este representante mínimo de una permutación $p$ por $\mathrm{low}(p)$ . Ahora deberíamos tener una "madre de todos los grupos", dada por la clase de todos los $\mathrm{low}(p)$ por cada $p \in \mathbf{SYM}$ con la composición definida tomando el bajo de la composición como se definió antes.

Mis preguntas son: ¿tiene sentido la construcción anterior? Si no es así, ¿dónde está el fallo? Si es así, ¿hay alguna manera de evitar el uso obvio del axioma de elección que he mencionado? Una cosa que noto al rechazar la elección es que entonces los cardinales ya no están necesariamente totalmente ordenados, por lo que entonces, sea como sea que vayamos a elegir representantes, nos encontraríamos con el problema de que no podríamos "anidarlos" juntos y por tanto no podríamos extender las permutaciones para poder realizar la composición. ¿Significa esto que la existencia del grupo madre depende del axioma de elección? Además, ¿qué ocurre con los "objetos madre" de otros tipos? Sospecho que, de forma análoga a lo anterior, podemos construir una "madre de todos los anillos" mediante el correspondiente análogo del teorema de Cayley para los anillos (los anillos son isomorfos a anillos de endomorfismos de grupos abelianos). Así que esto me hace preguntarme: ¿qué tipo de condiciones se requieren para que algún tipo de estructura tenga una "estructura madre" de tamaño propio? ¿Cualquier estructura tiene una o sólo algunas?

Otra cosa que observo aquí es que este "grupo madre" parece no incluir todos los grupos "super" de clase propia, sólo los grupos "normales", es decir, los conjuntos, mientras que, creo, No incluye también todos los campos ordenados "super" de clase propia. Lo que me hace preguntarme: ¿qué tipo de criterios se necesitan para garantizar la existencia de una versión "verdaderamente madre" de clase propia de una estructura que incluya todas las demás estructuras de este tipo, incluidas otras de clase propia como subconjuntos/clases? ¿Qué tienen los campos ordenados que no tienen los grupos, y qué otras cosas, además de los campos ordenados, comparten esta propiedad?

Answer 1

Los números surrealistas muestran propiedades universales mucho más fuertes de las que usted ha mencionado, ya que también exhiben una homogeneidad muy fuerte y saturación propiedades. Por ejemplo, todo automorfismo de una subestructura elemental del tamaño de un conjunto de de los surreales se extiende a un automorfismo de los números surreales enteros y toda subestructura elemental del tamaño de un conjunto tipo sobre los surreales que es consistente con el teoría de los números surreales se realiza en los números surreales. Es decir, cualquier propiedad de primer orden que pueda ser verdadera sobre un objeto en relación con algunos números surreales, que sea consistente con la teoría de los números surreales, ya es verdadera sobre algún número surreal.

Para cualquier teoría completa de primer orden $T$ se puede considerar el concepto de modelo monstruoso de la teoría. Se trata de un modelo $\mathcal{M}$ de $T$ , de tal manera que primero, cualquier otro modelo de tamaño de conjunto de $T$ se incrusta como una subestructura elemental subestructura de $\mathcal{M}$ --no sólo como una subestructura, sino como una subestructura en la que la verdad de cualquier afirmación de primer orden tiene el mismo valor de verdad en la subestructura que en el modelo grande--y en segundo lugar, que cada automorfismo de una subestructura del tamaño de un conjunto de $\mathcal{M}$ se extiende a un automorfismo de $\mathcal{M}$ .

También se pueden utilizar aproximaciones a este monstruo de clase propia considerando modelos de tamaño de conjunto extremadamente grande, de algún tamaño $\kappa$ de tal manera que las propiedades de incrustación y homogeneidad se mantienen con respecto a las subestructuras de tamaño inferior a $\kappa$ .

Toda teoría completa de primer orden consistente $T$ tiene tal monstruo modelos, y se utilizan de forma generalizada en la teoría de modelos. El modelo teóricos encuentran conveniente, al considerar tipos sobre y extensiones de un modelo fijo, trabajar dentro de un modelo monstruoso fijo, considerando sólo las extensiones que surgen como submodelos del modelo modelo monstruoso fijo.

Su tema también tiene una gran afinidad con el concepto de la Límite de Fraïssé de una colección de los generados finitamente (o $\kappa$ -generadas), que se pretende ser el edad de la estructura límite, la colección de de generación finita ( $\kappa$ -generado) de las subestructuras del límite de la estructura del límite. Los límites de Fraïssé se construyen a menudo para exhibir las mismas propiedades de saturación y homogeneidad de los números surrealistas. Como orden lineal, los números surrealistas son el límite de Fraïssé de la colección de todos los órdenes lineales del tamaño de un conjunto. Y creo que uno también se puede poner la estructura del campo aquí.

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Actualización. Cuando se tiene el axioma global de elección, la propiedad de homogeneidad de conjuntos del límite de Fraïssé generalizado permite establecer la universalidad para estructuras de clases propias. Básicamente, utilizando el AC global uno realiza una estructura de clase propia dada como una unión de una torre de estructuras de conjuntos, y las mapea gradualmente en la estructura homogénea. La propiedad de homogeneidad es exactamente lo que se necesita para seguir ampliando la incrustación, y así uno consigue mapear toda la estructura de clases propias. Este tipo de argumento, creo, muestra que lo que se quiere considerar es la homogeneidad y no simplemente la propiedad universal en sí misma. (Este argumento es un análogo de la idea de que cuando se tiene homogeneidad para subestructuras contables, se obtiene universalidad para estructuras de tamaño $\aleph_1$ .)

En cuanto a tu construcción específica, aquí tienes una forma más sencilla de llevar a cabo la misma idea, que evita la necesidad de la relación de equivalencia: Dejemos que $G$ sea la clase propia de todos los puntos fijos libres permutaciones de un conjunto. Esta clase admite una operación de grupo natural que consiste en componerlas, considerando los elementos fuera del dominio del dominio como fijados por la permutación, y luego expulsar cualquier punto fijo recién creado. El elemento de identidad de $G$ es la función vacía, que en realidad es un sustituto de la función de identidad en la clase universal.

Está claro que todo grupo encuentra una copia isomorfa dentro de $G$ , sin utilizar el axioma de elección, ya que todo grupo es naturalmente isomorfo a un grupo de permutaciones, y éstas están naturalmente incrustados en $G$ simplemente expulsando los puntos fijos. Esto no utiliza el axioma de elección.

El grupo de clase $G$ es una presentación natural del conjunto-soporte simétrico grupo $\text{Sym}_{\text{set}}(V)$ del universo teórico de conjuntos $V$ la clase de todas las permutaciones de $V$ que tiene soporte de conjunto. Cualquier permutación de $V$ se representa en $G$ restringiendo a los puntos no fijos.

Obsérvese, por último, que en el caso de los números surrealistas, no se necesita el axioma de elección para construir los números surrealistas, y se pueden obtener muchas propiedades universales para estructuras de conjuntos bien ordenables y en general del axioma de elección para todas las estructuras de conjuntos. Pero para obtener la propiedad universal que mencionas para las estructuras de tamaño de conjunto, no basta con el mero AC no es suficiente, pues se necesita el axioma global de elección, que es que es la afirmación de que existe un ordenamiento adecuado de las clases del universo. Esto no se deduce de AC, pues hay modelos de teoría de conjuntos GB de Gödel-Bernays que tienen AC, pero no elección global. Pero la AC global es suficiente para llevar a cabo la incrustación de cualquier orden lineal de clase en No. Un fenómeno similar surge con muchos otros modelos saturados de conjuntos homogéneos de clase, que requieren AC global para obtener la universalidad para las estructuras de clase.

Answer 2

Dejemos que $\mathcal{G}$ denota la clase de todos los grupos. Definir

$$\mathcal{M} = \left\{ f : \mathcal{G} \dashrightarrow \bigcup\mathcal{G} : \left(\forall G \in \mathrm{dom}(f)\right)\left(f(G) \in G\setminus\{\mathrm{id}_G\}\right)\right\}$$

En otras palabras, $\mathcal{M}$ consiste en todas las funciones de elección parciales del tamaño de un conjunto sobre la clase de todos los grupos, excluyendo las funciones de elección que siempre eligen la identidad. La función vacía es la identidad de este grupo de clases, la inversa de una función en $\mathcal{M}$ es su inversa puntual, y la multiplicación se define como sigue:

• $\mathrm{dom}(fg) = \mathrm{dom}(f) \cup \mathrm{dom}(g) \setminus \{G \in \mathcal{G} : f(G)g(G) = \mathrm{id}_G\}$
• $(fg)(G) = f(G)g(G)$ si $G\in\mathrm{dom}(f)\cap\mathrm{dom}(g)$ y $f(G)g(G)\neq\mathrm{id}_G$
• $(fg)(G) = f(G)$ si $G \in \mathrm{dom}(f)\setminus\mathrm{dom}(g)$
• $(fg)(G) = g(G)$ si $G \in \mathrm{dom}(g)\setminus\mathrm{dom}(f)$

El idea intuitiva aquí es que quieres tomar el Producto cartesiano de todos los grupos . En otras palabras, su grupo madre estaría formado por todas las funciones de elección del tamaño de la clase en $\mathcal{G}$ . Por supuesto, una clase no puede tener elementos del tamaño de una clase, así que intentamos conformarnos con tomar la clase de todas las funciones de elección parcial del tamaño de un conjunto sobre $\mathcal{G}$ . El problema de esto se reduce a ¿qué tomar como elemento de identidad? O, en otras palabras, ¿cómo diferenciar una función de elección parcial de otra que es similar, pero que además escoge algunos elementos de identidad de los grupos de su dominio? La solución es "no permitir" la elección de la identidad. Esto nos lleva a hacer que la identidad de este grupo madre sea la función de elección vacía, y a definir la multiplicación esencialmente como la multiplicación por puntos, excepto que eliminamos cualquier identidad en el resultado.

Answer 3

Esta es una nota a pie de página de la bonita respuesta de Joel.

Motivado por el campo ordenado No de los números surrealistas, en 1989 extendí la teoría de los modelos saturados a las estructuras de clase en "Absolutely Saturated Models" (Fundamenta Mathematica 133, pp. 39-46). Trabajando en NBG (con elección global) -donde la verdad no es en general definible en las estructuras de clase y la inducción no puede en general aplicarse libremente en tales estructuras a las afirmaciones que implican la verdad global- se muestra (entre otras cosas) que: si el lenguaje L de una teoría T es un conjunto y T es una teoría completa, de modelo completo, con un modelo infinito, entonces T tiene (hasta el isomorfismo) un único modelo absolutamente saturado (es decir, On-saturado). Es decir, On-saturado) que coincide (hasta el isomorfismo) con el modelo homogéneo-universal de T. Se pueden construir modelos On-saturados adicionales en NBG, pero hay limitaciones debido a las consideraciones que tienen que ver con la verdad en las estructuras de clase.

Si se pasa a la teoría de conjuntos de Kelly-Morse, que a diferencia de NBG no es una extensión conservadora de ZFC, toda la teoría clásica de los modelos saturados puede extenderse a las estructuras de clase.

Answer 4

Preocupaciones como ésta son una de las razones por las que gente como yo sigue interesada en los sistemas de Quine de la teoría de conjuntos, donde siempre se encuentran tales objetos universales. En NF tenemos el grupo simétrico completo sobre el universo (y todo es un subgrupo de él) y el grupo libre sobre el universo del que todo grupo es (supongo, co's nunca he necesitado comprobarlo) un cociente.

Pero probablemente no es eso lo que quieres.

Answer 5

Para los grupos simples finitamente presentados, existen los grupos existencialmente cerrados. Estos grupos son grupos $M$ para la que cualquier ecuación o desigualdad definible sobre $M$ tiene una solución en $M$ . Estos tienen muchas propiedades notables, incluyendo la siguiente, que es el Teorema 1.8 en G. Higman, E. Scott, "Existentially Closed Groups", Oxford University Press (1988):

Dejemos que $M$ sea un grupo existencialmente cerrado. Entonces $M$ no puede ser generado finitamente, $M$ contiene todo grupo simple finitamente presentado (y por tanto todo grupo finito), y $M$ es simple.

Se puede (¡afortunadamente!) demostrar que existen grupos existencialmente cerrados, y que incluso hay $2^{\aleph_0}$ grupos existencialmente cerrados contables. De hecho, de forma análoga a como el grupo universal de Hall es localmente finito y contiene a todos los grupos finitos, se puede demostrar que existen grupos contables existencialmente cerrados localmente finitos. Como ventaja adicional, todos los grupos contables se pueden incrustar en un grupo existencialmente cerrado contable.