sumas infinitas, desigualdades, tasa óptima.

Question

Supongamos que tenemos una secuencia $\{a_k\}_{k=1}^\infty$ tal que $$\sum_{k=1}^\infty k^{2s}a_k^2<1\,\,\,\text{for some s > 1 }.$$ Necesito mostrar para todos $\gamma>1$ que $$\frac{\sum^n_{l=1}l^{\gamma}\sum_{k=1}^n k^{-\gamma}a_k^2}{\sum_{k=1}^n a_k^2}\lesssim n^2$$ o encontrar una tasa más aguda que $n^2$ . Así que necesito eso $l^\gamma$ y $k^{-\gamma}$ de alguna manera se anulan entre sí en algún sentido. ¿Cree que esto es posible? Me gustaría recibir cualquier sugerencia u opinión.

Answer 1

Lo siento pero no puedo escribirlo en un comentario... ¿Podría explicar un poco más, cómo transformar las sumas a una integral? Me encantaría entender un poco más tu argumento.