¿Son correctas las siguientes pruebas(2)?

Question

A continuación se ofrece una lista de algunas preguntas de la clase y mi intento de responderlas. Agradecería cualquier consejo sobre lo que hice mal o sobre cómo intentar algunas de las preguntas.

3. Dejemos que A: X Y es un operador lineal de un espacio lineal X a un espacio lineal Y. Demuestre que la imagen de un operador lineal A: X Y es un subespacio lineal de Y.

Mi intento:

1.Mostrando no vacío, no conozco ningún ejemplo..

2.Mostrar aditivo, donde $y_1, y_2 \in \ker(A):$

$Ax_1 = y_1$ y $Ax_2 = y_2$

$A(x_1 + x_2) = y_1 + y_2$

3.Mostrar la multiplicación escalar para $a \in F$

$a(Ax_1)=ay_1$

$ay_1 = ay_1$

_

4.(a) El operador de diferenciación $D : C^ C^$ es un operador lineal. Encuentra el núcleo y la imagen de D. (b) El operador $D^n : C^ C^$ es un operador lineal (diferenciación n veces). Encuentra el núcleo y la imagen de $D^n$ .

Mi intento:

(a) ker(D) = c, c F y im(D) = $C^$ No sé cómo demostrar que esto es así, pero parece que es así.

(b) ker( $D^n$ ) = $x^n$ , x $C^$ y im( $D^n$ ) = $C^$ No sé cómo demostrar que esto es así, pero parece que es así.

Answer 1

3.1: Véase el problema 1.

4(a): Es un estándar aplicación del teorema del valor medio que $Df = 0$ implica $f$ es constante.

4(b): Tu núcleo es incorrecto. ¿Qué puede decir sobre todo polinomios de grado $<n$ ? Para la imagen, ¿cuál es la definición de $C^\infty$ ?