Trabajo realizado por la fricción

Question

Supongamos que tenemos un bloque de masa $M$ y estamos subiendo una curva, muy lentamente ( $a=0$ ). La superficie no es lisa, y el coeficiente de fricción es $\mu=\mu_s=\mu_k$ .

Para mover el bloque aplicamos una fuerza $F$ al bloque tangente a la superficie (en la que está el bloque, en ese momento). Si tomamos el ángulo de inclinación como $\theta$ (de la superficie), entonces las fuerzas que actúan son la fricción $f$ , gravedad/peso $Mg$ y la fuerza externa $F$ .

Aquí es donde viene el problema. Si queremos averiguar el trabajo realizado por la fricción, entonces $$W_{friction}=\int\vec{F_{friction}}.\vec{dr}=-\mu Mg\int dr cos\theta=-\mu Mg\int dx$$ Pero cuando uso el teorema trabajo-energía, entonces $$W_{friction}+W_{gravity}+W_{ext}=0$$ $$W_{friction}=-W_{gravity}-W_{ext}$$ $$W_{friction}=Mgh-F\int dr$$ Cuando obtengo el trabajo realizado por la fricción utilizando la integración entonces me dice que no depende del tipo de trayectoria y de la longitud de la trayectoria, sino sólo de la horizontal $x$ cubierta. Cuando uso el teorema trabajo-energía, me dice que depende de la altura $h$ hasta donde llega el bloque y la longitud del camino $r$ . ¿Qué está fallando? ¿Podría alguien darme una pista?

Gracias de antemano.

Answer 1

Que en cualquier ángulo la pendiente de la trayectoria sea $\phi$ :

Así que, $$-F\int dr =-\left[\int F\cdot\text dr\cos\phi +\int F\cdot\text dr\sin\phi\right];$$

Ahora como $\Delta K.E.=0;$ (moviéndose lentamente);

Trabajo neto por fuerzas horizontales = Trabajo neto realizado por fuerzas verticales =0;

Ahora, puedes ver el trabajo vertical = $\int F\sin\phi\cdot \text dr - Mgh =0$

y el trabajo horizontal = $\int F\cos\phi\cdot \text dr $ debe ser anulado por el trabajo de fricción , lo que demuestra que el trabajo de fricción sólo depende de la distancia horizontal. Por lo tanto, el primer método era correcto y el segundo no estaba completo.