Continuidad de una función que mapea un punto al punto más cercano en un conjunto convexo compacto

Question

Dejemos que $K$ sea un subconjunto convexo compacto no vacío de $\mathbb R^n$ y que $f$ sea la función que mapea $x \in \mathbb R^n$ al único punto más cercano $y \in K$ con respecto a la $\ell_2$ norma. Quiero demostrar que $f$ es continua, pero no consigo averiguar cómo.

Mis pensamientos: Supongamos que $x_n \to x$ en $\mathbb R^n$ . Sea $y_n = f(x_n)$ y que $y = f(x)$ . Por la compacidad de $K$ hay una subsecuencia convergente $(y_{k_n})$ que converge a algún $y' \in K$ . Si $y \ne y'$ entonces $\|x-y\| < \|x-y'\|$ . Además, cualquier punto $z \ne y$ en el segmento de línea que une $y,y'$ también satisface $\|x-y\|<\|x-z\|$ . No sé a dónde ir desde aquí. ¿Algún consejo?

Answer 1

Considere dos puntos $a$ y $b$ y para simplificar y sin pérdida de generalidad, supongamos $f(a)=0$ . Entonces la línea a través de $f(a)$ y $f(b)$ puede ser descrito por $\lambda f(b)$ y todos los puntos con $0\le\lambda\le1$ están en $K$ . El punto más cercano a algún punto $c$ en esta línea se determina por

$$(\lambda_c f(b) - c)\cdot f(b)=0$$

(el vector del punto más cercano a $c$ es perpendicular a la línea), lo que da

$$\lambda_c =\frac{c\cdot f(b)}{f(b)\cdot f(b)}\;,$$

donde podemos dividir por $f(b)\cdot f(b)$ ya que el caso $f(b)=0=f(a)$ obviamente no destruye la continuidad. Sabemos que $f(a)$ es el punto más cercano a $a$ en $K$ y $f(b)$ es el punto más cercano a $b$ en $K$ . De ello se desprende que $\lambda_a \le 0$ y $\lambda_b \ge 1$ . Juntando todo, tenemos

$$\|f(b)-f(a)\|=\|f(b)\|=1\|f(b)\|\le(\lambda_b-\lambda_a)\|f(b)\|=\frac{(b-a)\cdot f(b)}{f(b)\cdot f(b)} \|f(b)\| \le \|b-a\|\;.$$

Así, para un determinado $\epsilon$ , puede tomar $\delta=\epsilon$ para conseguir $\|b-a\|<\delta\Rightarrow \|f(b)-f(a)\|<\epsilon$ .

Answer 2

Otra forma, para que conste:

Desde $f(a)$ es óptima, $$(f(b) - f(a))\cdot (a - f(a)) \le 0.$$ Del mismo modo, ya que $f(b)$ es óptima, $$(f(b)-f(a))\cdot(f(b) - b)\le 0.$$

Si sumamos estas dos desigualdades y las reordenamos, obtenemos $$\begin{align}\|f(a)-f(b)\|^2&\le (f(b)-f(a))\cdot(b-a) \\ & \le \|a-b\|\|f(a)-f(b)\|,\end{align}$$ con la segunda desigualdad de Cauchy-Schwarz. Dividiendo a través, hemos terminado.