Sistema de dos ecuaciones cuadráticas, $P(x)$ y $Q(x)$

Question

Si $P(x) = ax^2 + bx + c$ y $Q(x) = – ax^2 + dx + c$ , $ac \ne 0$ entonces la ecuación $P(x) . Q(x) = 0$ tiene

(A) Exactamente dos raíces reales

(B) Al menos dos raíces reales

(C) Exactamente cuatro raíces reales

(D) No hay raíces reales

Mi enfoque es el siguiente $T(x)=P(x).Q(x)$

$T\left( x \right) = - a^2{x^4} + a\left( {d - b} \right){x^3} + \left( {bd} \right){x^2} + c\left( {d + b} \right)x + {c^2}$

No es posible acercarse desde aquí

Answer 1

Si el coeficiente de $x^2$ y el término constante de una ecuación cuadrática son de signo contrario $($ ambos distintos de cero $)$ entonces el discriminante de la ecuación cuadrática es positivo, lo que significa que las raíces son reales.

Así que, o bien $P(x)$ o $Q(x)$ tiene un coeficiente de $x^2$ y el término constante de signo contrario $($ ambos son distintos de cero $)$ . Así que uno de ellos tiene $2$ raíces reales.

Por lo tanto, $P(x)Q(x)=0$ tiene al menos $2$ raíces reales.

También podemos resolver utilizando su enfoque
$T\left( x \right) = - a^2{x^4} + a\left( {d - b} \right){x^3} + \left( {bd} \right){x^2} + c\left( {d + b} \right)x + {c^2}$
$T(0)>0$ y para un tamaño suficientemente grande $k$ ( $k$ es positivo) tenemos $T(k)<0$ y $T(-k)<0$ .
Así que debería haber una raíz real en el intervalo $(-k,0)$ y $(0,k)$ así que al menos $2$ las raíces reales existen.

Answer 2

Set $PQ=\left( ax^2+bx+c\right) \left( -ax^2+dx+c\right)$ a cero, para obtener $$\left( ax^2+bx+c\right) \left( -ax^2+dx+c\right)=0.$$

Compruebe el discriminante para ambos $P$ y $Q$ .

Para $P$ , se obtiene $D_P=b^2-4ac$ . Para $Q$ , se obtiene $D_Q=d^2+4ac$ .

Supongamos que $P$ no tiene raíces reales, de manera que $D_P=b^2-4ac < 0 \implies4ac>b^2$ . En ese caso, $D_Q=d^2+4ac>0$ y $Q$ tiene por tanto dos raíces, por lo que su polinomio $PQ$ tiene al menos dos raíces.

A continuación, supongamos que $P$ tiene 1 raíz real, en cuyo caso $4ac=b^2$ y así $D_1 = d^2+b^2$ que tiene 2 raíces, por lo que $PQ$ tiene 3.

Por último, supongamos que $P$ tiene 2 raíces reales, y por tanto $b^2>4ac$ , en cuyo caso $Q$ puede tener cero, una o dos raíces reales.

Por lo tanto, $PQ$ tiene al menos dos raíces reales.

Answer 3

Debe ser la opción b. ¿Por qué? Veamos.

Su primera $ax^2 + bx +c$ tiene raíz real cuando el valor del discriminante adjunto es positivo . Así que $b^2 - 4ac >_ 0$ .

Puedes hacer un argumento similar para tus segundas ecuaciones también. Y será una raíz real si $d^2 - 4ac ≥ 0$

Y ahora ac debe ser no cero . Así que o bien ac es positivo o negativo. Así que puedes comparar estas dos ecuaciones considerando ambos ac y encontrarás que el discriminante sigue siendo siempre positivo.