La prueba de la acotación de la función máxima de Hardy-Littlewood en los espacios de Sobolev en el artículo de Kinnunen tiene el siguiente argumento:
"... Por lo tanto $(v_k)$ es una secuencia acotada en $W^{1,p}(\mathbb{R}^n)$ que converge a $\mathcal{M}u$ en un punto. La compacidad débil de los espacios de Sobolev implica $\mathcal{M} u \in W^{1,p}(\mathbb{R}^n), v_k$ converge a $\mathcal{M}u$ débilmente en $L^p(\mathbb{R}^n)$ y $D_i v_k$ converge a $D_i \mathcal{M}u$ débilmente en $L^p(\mathbb{R}^n)$ . Desde $|D_i v_k| \leq \mathcal{M} D_i u$ en casi todas partes por (2.1), la convergencia débil implica $|D_i \mathcal{M} u| \leq \mathcal{M} D_i u$ casi en todas partes en $\mathbb{R}^n$ "
Me confunde la parte en la que la convergencia débil implica la acotación puntual. Sé que la convergencia débil en $L^p$ preserva la desigualdad de la norma, pero ¿cómo se obtiene la desigualdad puntual?
