encuentra el volumen del sólido encerrado por esta ecuación. ¿Cómo visualizarlo?

Question

¿Cómo encontramos el volumen del sólido $$ ( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} +\frac{z^2}{c^2})^2 = \frac{x}{h} $$ ? He intentado usar Wolframalpha para trazarlo pero no me da el gráfico.

Answer 1

Reescribe la ecuación como

$$\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=\sqrt{\frac xh}-\frac{x^2}{a^2}.$$

Esto representa una elipse en el plano vertical en $x$ , con un zona proporcional a la RHS. Esta última expresión es positiva desde $x=0$ hasta $x^3=a^4/h$ .

El volumen es un huevo de Colombus* con secciones transversales elípticas. Su medida será $\pi bc$ veces la integral del lado derecho.

$$V=\pi\frac{a^2}{3h}bc.$$

(*Con una base bastante plana.)

Answer 2

Para empezar, pongamos $x = a u,y=b v, z=c w,\delta=\frac{a}{h}$ .

Basta con encontrar el volumen del sólido encerrado por: $$ (u^2+v^2+w^2)^2 = \delta u.\tag{1}$$ Si $(1)$ se cumple, entonces $u\geq 0$ y podemos calcular el volumen cortando el sólido según el valor de $u$ . La sección es un círculo de radio cuadrado: $$ R_u^2 = \sqrt{\delta u} - u^2 $$ por lo que, por el principio de Cavalieri, el volumen viene dado por: $$ \int_{0}^{\delta^{1/3}}\pi(\sqrt{\delta u}-u^2)\,du = \frac{\pi \delta}{3}\tag{2} $$ y el volumen del sólido original es justo: $$ V = abc\cdot\frac{\pi\delta}{3} = \color{red}{\frac{\pi}{3h}a^2bc}.\tag{3}$$

Answer 3

$\newcommand{\angles}[1]{\left\langle\, #1 \,\right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\, #1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, #1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, #1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\dsc}[1]{\displaystyle{\color{red}{#1}}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\Li}[1]{\,{\rm Li}_{#1}} \newcommand{\norm}[1]{\left\vert\left\vert\, #1\,\right\vert\right\vert} \newcommand{\pars}[1]{\left(\, #1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large A}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert}$ Sólido "cerrado" por $\ds{\pars{{x^{2} \over a^{2}} + {y^{2} \over b^{2}} + {z^{2} \over c^{2}}}^{2} ={x \over h}:\ {\large ?}}$ .

---

\begin{align}&\color{#66f}{\large% \left.\int_{{\mathbb R}^{3}}\dd x\,\dd y\,\dd z\, \right\vert_{\pars{% {x^{2} \over a^{2}} + {y^{2} \over b^{2}} + {z^{2} \over c^{2}}}^{2}\ <\ {x \over h}}} =\left.\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\dd x\,\dd y\,\dd z\, \right\vert_{\pars{% {x^{2} \over a^{2}} + {y^{2} \over b^{2}} + {z^{2} \over c^{2}}}^{2}\ <\ {x \over \verts{h}}} \\[5mm]&=\left.\verts{abc}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\infty} r^{2}\sin\pars{\theta}\,\dd r\,\dd\theta\,\dd\phi\, \right\vert_{r^{4}\ <\ \verts{a \over h}r\sin\pars{\theta}\cos\pars{\phi}} \\[5mm]&=\left. 2\verts{abc}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\infty} r^{2}\sin\pars{\theta}\,\dd r\,\dd\theta\,\dd\phi\, \right\vert_{r^{3}\ <\ -\verts{a \over h}\sin\pars{\theta}\cos\pars{\phi}} \\[5mm]&=\left. 2\verts{abc}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\infty} r^{2}\sin\pars{\theta}\,\dd r\,\dd\theta\,\dd\phi\, \right\vert_{r^{3}\ <\ \verts{a \over h}\sin\pars{\theta}\sin\pars{\phi}} \\[5mm]&=2\verts{abc}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{% \braces{\verts{a}\sin\pars{\theta}\sin\pars{\phi}/\verts{h}}^{\,\,\,\,\,1/3}} r^{2}\sin\pars{\theta}\,\dd r\,\dd\theta\,\dd\phi \\[5mm]&=2\verts{abc}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi} {\verts{a}\sin\pars{\theta}\sin\pars{\phi}/\verts{h} \over 3} \sin\pars{\theta}\,\dd\theta\,\dd\phi \\[5mm]&={2 \over 3}\,a^{2}\verts{bc \over h}\ \overbrace{% \bracks{\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\pars{\theta}\,\dd\theta}} ^{\ds{=\ \dsc{\pi \over 2}}}\ \overbrace{% \bracks{\int_{0}^{\pi/2}\sin\pars{\phi}\,\dd\phi}}^{\ds{=\ \dsc{1}}}\ =\ \color{#66f}{\large{1 \over 3}\,\pi a^{2}\verts{bc \over h}} \end{align}

Answer 4

He utilizado esto para la visualización con WolframAlpha:

Ejemplo con $a = b = c = h = 1$ .