¿Cómo podría construir un módulo $M$ que tiene exactamente $n$ ¿serie de composición?

Question

¿Cómo podría construir un módulo $M$ que tiene exactamente $n$ ¿serie de composición?

No puedo encontrar una serie de submódulos donde cada uno tenga exactamente $n \in \mathbb{N}$ serie de composición. No sé si hay algo así como un ejemplo clásico de esto.

Answer 1

Considere la $\mathbb{Z}$ -Módulo $M=(\mathbb{Z}/2^{n-1}\mathbb{Z})\oplus(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ . Hay exactamente $n$ serie de composición distinta para $M$ . Las series de composición vienen dadas por $$0=M_0^i\subsetneq M_1^i \subsetneq M_2^i\subsetneq \ldots \subsetneq M_{n-1}^i\subsetneq M_n^i=M,$$ donde $i=1,2,\ldots,n$ y $$M_j^i=\begin{cases}\big\langle (2^{n-1-j},0)\big\rangle&\text{for }j=0,1,2,\ldots,i-1,\\ \big\langle (2^{n-j},0),(0,1)\big\rangle&\text{for }j=i,i+1,i+2,\ldots,n.\end{cases}$$ Por lo tanto, para cualquier número entero $n\geq 0$ existe un anillo $R$ y una izquierda $R$ -Módulo $M$ de longitud finita tal que $M$ tiene exactamente $n$ serie de composición distinta.

Sería una cuestión interesante para arreglar el anillo $R$ o exigir que $M$ sea indecomponible. Por ejemplo, si $R$ es un campo finito de orden $q$ Entonces, debido a esto Nota de la conferencia los únicos valores posibles de $n$ son de la forma $$n=[k]_q!=\prod_{i=1}^k\frac{q^i-1}{q-1}=\prod_{i=1}^k(1+q+q^2+\ldots+q^{i-1}).$$ Si $R=\mathbb{Z}$ o $R$ es un anillo semisimple, y $M$ es una izquierda no descomponible $R$ -de longitud finita, entonces $M$ tiene exactamente una serie de composición.

Por supuesto, es posible tener un módulo de longitud finita con infinitas series de composición. Tomemos por ejemplo $R=\mathbb{Q}$ y $M=\mathbb{Q}^2$ . Entonces, para cada $r\in\mathbb{Q}$ , $$0\subsetneq \operatorname{span}\big\{(1,r)\big\}\subsetneq M$$ es una serie de composición de $M$ (y junto con $0\subsetneq \operatorname{span}\big\{(0,1)\big\}\subsetneq M$ , todas estas son series de composición de $M$ ).