¿Todas las categorías tienen un esqueleto?

Question

¿Todas las categorías tienen un esqueleto?

Si la categoría es pequeña y asumo el axioma de elección, puedo elegir un elemento de cada clase de morfismo y construir el esqueleto. Sin embargo, si la categoría no es pequeña, no sé si su esqueleto existe.

Además: ¿Es posible que, si la categoría no es pequeña y no tiene ningún esqueleto como subcategoría, la categoría tenga un esqueleto?

Answer 1

La situación de tomar esqueletos de categorías es exactamente la misma que la de tomar funciones de elección sobre conjuntos; nada cambia. Cualesquiera que sean sus presunciones metateóricas sobre la elección en conjuntos/clases discretos, el resultado será el mismo en cuanto a la capacidad de tomar esqueletos de categorías.

Como ya has observado, la elección te permite elegir esqueletos. Observemos que, a la inversa, la capacidad de elegir esqueletos conlleva la Elección.

La elección dice (en una formulación) que dada cualquier relación de equivalencia E sobre una colección S, podemos elegir una subcolección de S que contenga precisamente un elemento de cada clase de equivalencia. Si consideramos la categoría C cuyos objetos son S, con un mapa único entre dos objetos si están relacionados por E y, en caso contrario, sin mapas entre ellos, entonces un esqueleto para C es precisamente lo mismo que una elección de representantes de cada clase de equivalencia de E.

(Nótese que esta C es efectivamente una categoría porque E es reflexiva y transitiva. La estructura de composición de C está determinada unívocamente y es automáticamente asociativa, y dos objetos en C son isomorfos sólo en el caso de que estén relacionados por E).

Su preocupación se refiere a los problemas de tamaño. Bueno, como podemos ver, podemos elegir un esqueleto para una categoría grande arbitraria precisamente si estamos en un contexto donde se nos permite la Elección para un gran número de colecciones grandes. Si estamos en un contexto en el que tenemos Choice sólo para un pequeño número de elecciones, no podremos obtener esqueletos de categorías arbitrariamente grandes.

Vale la pena señalar que en un marco como ZFC, la adición de la Elección Global (que esencialmente equivale a permitir la Elección para cualquier sistema definible, grande o pequeño, de opciones, cada una de las cuales comprende un número grande o pequeño de opciones) no resulta en la demostrabilidad de ninguna nueva declaración sobre los conjuntos más allá de lo que ya era demostrable; en la jerga, es una extensión "conservadora". Dicho todo esto, en una teoría de conjuntos como vNBG, que coincide con ZFC en la discusión de conjuntos pero también habla explícitamente de clases grandes, el axioma de elección para conjuntos no implica el axioma de elección global con respecto a clases arbitrarias.