De un vector a una matriz simétrica sesgada

Question

¿Existe algún mapa lineal que mapee un vector tridimensional? $$\mathbf{v}=\begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3 \end{pmatrix}$$ a una matriz sesgada-simétrica correspondiente: $$\mathbf{V}=\begin{pmatrix} 0 & -v_3 & v_2 \\ v_3 & 0 & -v_1 \\ -v_2 & v_1 & 0\end{pmatrix}$$ Probablemente habría que definir un tensor de orden 3.

Editar La pregunta está relacionada con la siguiente: sabiendo que existe una matriz $\mathbf{V}\in\mathbb{R}^{3,3}$ tal que para un vector dado $\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3$ : $$\forall\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3,\quad\mathbf{V}\mathbf{x}=\mathbf{v}\times \mathbf{x}\quad\Leftrightarrow\quad \mathbf{V}=\mathrm{CPM}(\mathbf{v})$$ donde CPM significa matriz de productos cruzados, podemos expresar de forma invariable la cantidad $$ \mathbf{V}_\mathrm{A}=\mathrm{CPM}(\mathbf{Av})$$ donde $\mathbf{A}$ es cualquier $3\times 3$ ¿matriz real?

(el resultado es $\mathbf{V}_\mathrm{A}=(\mathbf{VA})^T-\mathbf{VA}+\mathrm{tr}(\mathbf{A})\mathbf{V}$ pero se ha obtenido calculando cada coordenada de las matrices del lado izquierdo y del lado derecho e identificando posteriormente cada término)

Answer 1

El nombre del tensor que se busca es el Levi-Civita o tensor de permutación. En coordenadas cartesianas, $\epsilon_{ijk}$ es igual a $+1$ para cualquier permutación par de 123 y $-1$ para cualquier permutación impar.

El tensor de permutación representa un volumen unitario dirigido. Como tales volúmenes tienen expresiones diferentes en otros sistemas de coordenadas, el tensor de Levi-Civita dependerá del sistema de coordenadas utilizado. Sin embargo, representa un objeto fundamental, invariante del sistema de coordenadas, llamado pseudoescalera del espacio. Y hay formas de utilizar el pesudoescalar sin recurrir al enfoque tensorial, evitando el problema de cómo el pseudoescalar tiene diferentes expresiones en diferentes coordenadas.

El pseudoescalar refuerza la noción de dualidad. En el espacio 3d, los vectores son duales (ortogonales o normales a) los planos. En algunos círculos, llamamos a los planos dirigidos bivectores . Utilizando el pseudoescalar de esta manera, se convierte de ida y vuelta entre vectores y sus bivectores duales. El tensor (matriz) de rango 2 sesgado que tienes aquí es la representación directa de dicho bivector.