Representaciones de grupo: los elementos de la matriz generan una extensión finita de $\mathbb Q$ sobre una base adecuada

Question

Dejemos que $\chi$ sea un carácter de G. Sea $\phi$ sea la representación de G que proporciona el carácter $\chi$ . Suponemos que el espacio de representación V es sobre $\mathbb{C}$ . Demuestre que para una base adecuada de V, las entradas de $\phi_{g}$ para todo g $\in$ G se encuentran en algún subcampo F $\subseteq$ $\mathbb{C}$ tal que [F: $\mathbb{Q}$ ] es finito.

Mi intento: Si G es abeliano entonces podemos encontrar una base tal que $\phi_g$ son matrices diagonales con valores propios en su diagonal para todo g $\in$ G. Pero sabemos que los valores propios son $n^{th}$ raíces de la unidad( donde $|G|$ =n) y por lo tanto encontramos una base tal que las entradas provienen de $\mathbb{Q}[\zeta_{n}]$ que es una extensión finita sobre $\mathbb{Q}$ . Pero no puedo hacer el caso general. ¡¡¡¡Gracias de antemano por la ayuda!!!!

Answer 1

Recientemente, en math.SE, hemos resuelto este ejercicio en el que se nos pedía demostrar que toda representación sobre $\mathbb C$ es equivalente a una representación sobre $\bar{\mathbb Q}$ hasta un cambio de base.

Una vez que haya elegido su base para que las entradas de la matriz estén todas en $\bar{\mathbb Q}$ se garantiza que el campo generado por las entradas de la matriz es una extensión finita sobre $\mathbb Q$ porque cada entrada es algebraica sobre $\mathbb Q$ y sólo hay un número finito de entradas.