¿Es cierto que el número de constantes arbitrarias en la solución (si existen soluciones) es siempre igual al orden de una ecuación diferencial ordinaria? Si la respuesta es afirmativa, ¿cómo se puede "demostrar" tal afirmación, si es que se puede demostrar? En caso negativo, ¿cuáles son los contraejemplos típicos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
st1.61803
Puntos
11
La afirmación es efectivamente cierta. No sé cómo se puede demostrar con rigor. Sin embargo, aquí hay algo más de información:
Si tienes una ecuación general en x, y, o más variables con algunas constantes a, b, ... Supongamos que hay n constantes en la ecuación.
¿Qué harías si quisieras encontrar la ecuación diferencial que satisface esta curva? La diferenciarías con respecto a x un cierto número de veces. Si la diferencias una vez, obtienes una nueva ecuación (la ecuación de la curva es también una ecuación). Si se diferencia dos veces, se obtiene otra. En general, si se diferencia k veces, se tendrán k+1 ecuaciones. Nuestros conocimientos de álgebra lineal nos dicen que, en general, se necesitan n+1 ecuaciones para eliminar n variables. ¿Cómo podemos obtener n+1 ecuaciones? Diferenciando una, dos... n veces. Si intentas eliminar todas las constantes, te quedará una ecuación diferencial final de orden n.
Espero que esto ayude.
