El monomio $\mu p^iq^j$ es una probabilidad en un experimento de moneda finita si y sólo si $\mu$ es un número entero y $\mu p^iq^j\lt1$ para todos $p\in[0,1]$ .
Primero, $\mu$ debe ser un número entero: La probabilidad de cualquier evento en un experimento con un número finito fijo de lanzamientos es un polinomio en $p$ con coeficientes enteros; y $\mu p^iq^j=\mu p^i(1-p)^j$ es un polinomio en $p$ con el coeficiente $\mu$ para $p^i$ Así que $\mu$ debe ser entero para que los dos sean iguales.
El resto de la dirección "sólo si" también se demuestra fácilmente. Dado que $\mu p^iq^j$ es una probabilidad para todos los $p$ Debe ser $\le1$ para todos $p$ . Si hubiera $p$ tal que $\mu p^iq^j=1$ el evento tendría que incluir todos los eventos elementales, lo que implica $\mu p^iq^j=1$ para todos $p$ que sólo se da en el caso trivial $i=j=0$ que fue excluido en la pregunta.
Ahora, para probar la dirección "si", considere un experimento con $i+j+l$ tiros. Si podemos seleccionar $\mu\binom lk$ eventos elementales con $i+k$ cabezas y $j+l-k$ colas para todos $k=0,\ldots,l$ entonces la probabilidad del evento compuesto por todos estos eventos elementales es
$$ \sum_{k=0}^l\mu\binom lkp^{i+k}q^{j+l-k}=\mu p^iq^j(p+q)^l=\mu p^iq^j\;. $$
Hay $\binom{i+j+l}{i+k}$ tales eventos elementales, por lo que podemos elegir $\mu\binom lk$ de ellos si
$$ \mu\binom lk\le\binom{i+j+l}{i+k} $$
para todos $k$ . Si cancelamos los factores en los tres pares de factoriales correspondientes, esto se convierte en
$$ \mu(k+i)\cdots(k+1)(l-k+j)\cdots(l-k+1)\le(l+i+j)\cdots(l+1)\;, $$
y luego dividir por $l^{i+j}$ y denotando $\frac kl\in[0,1]$ por $\alpha$ lleva a
$$ \mu\left(\alpha+\frac il\right)\cdots\left(\alpha+\frac1l\right)\left(1-\alpha+\frac jl\right)\cdots\left(1-\alpha+\frac 1l\right)\le\left(1+\frac{i+j}l\right)\cdots\left(1+\frac1l\right) $$
y por lo tanto a
$$ \mu\alpha^i(1-\alpha)^j+O\left(\frac{(i+j)^2}l\right)\le1\;. $$
Por lo tanto, podemos satisfacer esta desigualdad para un tamaño suficientemente grande $l$ si $\mu\alpha^i(1-\alpha)^j\lt1$ para todos $\alpha\in[0,1]$ .
