Espectro de un operador de multiplicación

Question

Tengo una pregunta sobre el espectro de un operador de multiplicación.
Estamos en el espacio de las funciones cuadradas integrables sobre $\mathbb{R}$ , $L^2(\mathbb{R})$ y definimos $$(T\psi)(x)=f(x)\psi(x)$$ donde

$$ f(x) = \left\{ \begin{array}{lr} 1 & x \geq 0\\ 0 & x<0 \end{array} \right. $$

Estoy buscando el espectro de $T$ . Es fácil encontrar que los valores propios de esta función son 0 y 1; mi argumento es que el espectro es $\{0,1\}$ . Si $z\neq0,1$ , $$(T-z)\psi=0$$ implica que $\psi=0$ Por lo tanto $T-z$ es inyectiva, y cualquier $(f(x)-z)\psi(x)$ a imagen y semejanza de $T-z$ puede simplemente volver a asignar a $\psi(x)$ Por lo tanto $T-z$ es onto, y el espectro sólo consiste en los valores propios. ¿Es esto correcto? Esto implica que el espectro continuo es el conjunto vacío, sin embargo, y yo tenía la impresión de que la imagen de $T-z$ era denso.

EDIT: Creo que veo mi error, mi prueba de la subjetividad está mal. Si quiero encontrar $g$ tal que $(Tg)=y$ para algunos $y\in L^2(\mathbb{R})$ En realidad nunca puedo, porque sólo obtengo una versión parcial de la misma, así que $T-z$ no es en realidad suryectiva para cualquier $z$ y el espectro es todo $\mathbb{C}$ .

Answer 1

En primer lugar, una observación preliminar: el espectro de un operador acotado es siempre compacta por lo que no es posible que sea toda $\Bbb C$ .

Si $\lambda\neq 0,1$ entonces $(T-\lambda)f = 0$ implica que $f = \lambda f$ para $x > 0$ pero esto definitivamente no es el caso a menos que $f=0$ dando que $T-\lambda$ es inyectiva, como has señalado. Por lo tanto, tenemos que ver cuándo $T-\lambda$ es suryente, es decir, dado un $\lambda$ (no sabemos qué es puede ser todavía) queremos resolver para $f$ dado $g\in L^2(\Bbb R)$ :

$$(T-\lambda)f = g.$$

Considere $x < 0$ entonces

$$-\lambda f(x) = g(x).$$

Por lo tanto, $$f(x) = -\frac{1}{\lambda} g(x).$$

Si en cambio $x\ge 0$ tenemos que

$$(T-\lambda)f = f-\lambda f = (1-\lambda)f.$$

Así,

$$f(x) = \frac{1}{1-\lambda}g(x)$$

Así que definimos

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{1-\lambda}g(x) & x\ge 0 \\ -\dfrac{1}{\lambda} g(x) & x < 0\end{cases}.$$

Lo único que queda por ver es que $f$ está en $L^2(\Bbb R)$ pero eso es bastante fácil de ver al dividir su intervalo. Tenga en cuenta que lo anterior funciona para cualquier $\lambda\neq 0,1$ y el hecho de que $0,1$ no funcionan aparecieron de forma muy natural en nuestra función $f$ ya que estos son los polos.

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Aquí hay un enfoque más limpio, creo. Tenga en cuenta que $T^2 = T$ y por lo tanto $T$ es un operador de proyección. $^{[1]}$ En general, los operadores de proyección tienden a tener buenos inversos "espectrales". Consideremos $(T+\mu I)(T-\lambda I)$ . Esto no es más que

$$(T+\mu I)(T-\lambda I) = T^2 + \mu T-\lambda T - \mu\lambda I = (\mu+1-\lambda)T-\mu\lambda I.$$

Si $\mu = \lambda-1$ , entonces obtenemos $-(\lambda-1)\lambda I$ . Así que, a menos que $\lambda = 0$ o $\lambda = 1$ , $T-\lambda I$ tiene una inversa (y la inversa es $T+(\lambda-1)I$ ). Además, $0$ y $1$ se realizan como valores espectrales considerando funciones con soporte en $(-\infty,0)$ y $(0,\infty)$ respectivamente.

$^{[1]}$ $T$ actúa como una proyección sobre el subespacio $V$ de funciones con soporte en $[0,\infty)$ el complemento ortogonal de $V$ no es más que el subespacio de funciones con soporte en $(-\infty,0)$ y no es difícil ver que estos dos abarcan todo el espacio.