Ecuación diferencial en movimiento circular no uniforme

Question

Tengo una pregunta que dice

Un astronauta realiza un experimento en una nave espacial en condiciones de gravedad cero. Se enhebra una cuenta en un hilo circular y se pone en movimiento con velocidad angular $ \omega _0 $ sobre el centro. Si el coeficiente de fricción entre el cordón y el hilo es $\mu$ , demuestran que la velocidad angular $\omega$ en el momento $t$ satisface la ecuación diferencial $ \dot{\omega} = -\mu \omega ^ 2 $ . Resuelve esta ecuación, y por lo tanto encuentra una expresión para $\theta$ El ángulo girado después del tiempo $t$ . Demuestre que, según este modelo, el cordón nunca se detendrá por completo.

He demostrado que la ecuación diferencial $\dot{\omega} = - \mu \omega ^2$ se satisface. Sin embargo, me cuesta resolver la ecuación diferencial. ¿Estoy en lo cierto al pensar que es una ecuación diferencial ordinaria no lineal de segundo orden? Si es así, ¿cómo puedo resolverla? Mi libro de texto no requiere que uno sepa cómo resolver ecuaciones diferenciales no lineales, así que ¿hay alguna forma especial de hacerlo?

Answer 1

Se puede integrar directamente. Tiene $$ \frac{d\omega}{dt}=-\mu\omega^2,$$ y puedes separar las variables: $$\frac{d\omega}{\omega^2}=-\mu dt.$$ Este último se puede integrar en ambos lados y obtener $\omega$ en función de $t$ .

Answer 2

He resuelto la ecuación haciéndola en dos pasos. Primero, en lugar de pensar en ella como $\ddot{\theta} = -\mu \dot{\theta} ^2$ , trátalo como $\frac{d\omega}{dt} = -\mu \omega ^2$ que se puede resolver separando las variables: $$ \begin{align} \int \frac{1}{\omega ^2} \ d\omega &= \int -\mu \ dt \\ -\frac{1}{\omega} &= c - \mu t \end{align}$$ $c$ se puede encontrar introduciendo las condiciones iniciales, $t=0 , \ \omega = \omega _0$ para dar $c = -\frac{1}{\omega _0}$ $$ \omega = -\frac{\omega _0}{1 + \mu \omega _0 t}$$ De esto, $\theta$ se puede encontrar haciendo: $$ \begin{align} \frac{d\theta}{dt} &= -\frac{\omega _0}{1 + \mu \omega _0 t} \\ \theta &= \int -\frac{\omega _0}{1 + \mu \omega _0 t} \ dt \\ \theta &= \frac{1}{\mu} \ln|1 + \mu \omega _0t|\end{align}$$