Fórmula explícita para interpolar el polinomio

Question

$a\in(0,1)$ es fijo.

$M\in\Bbb Z_{>1}$ es fijo.

¿Qué es? $f(x)$ dado que $$f(0)=0\mbox{, }f(M)=1+a\mbox{, }f(1)=1-a$$ $$ \¿f(x)\Nen(1-a,1+a)\Npara todo x\Nen(1,M)?

¿Qué es? $g(x)$ dado que $$g(1)=1\mbox{, }g(0)=-a\mbox{, }g(1-M)=a$$ $$ \¿f(x)\Nen(-a,+a)\Npara todo x\Nen(1-M,0)?

¿Qué es? $\mathsf{deg}(f(x)),\mathsf{deg}(g(x))$ ?

Answer 1

Esta no es una respuesta completa, sino algunas observaciones.

Para la primera parte, observe que $f(x)$ es de la forma $f(x)=xh(x)$ . Ahora, $f(x)$ no puede ser $0$ para cualquier $x$ para $x\in (1,M)$ . Así que el grado de $f$ es de la forma $2m+n+1$ donde $m$ es el número de raíces complejas de $f$ , $n$ es el número de raíces reales de $f$ , si lo hay, en $(0,1)$ .