¿Una pregunta sobre las derivadas variacionales?

Question

Si $m=u-u_{xx}$ Me gustaría preguntar si la siguiente fórmula es cierta.

$\frac{\delta}{\delta u}=(1-\partial_{xx})\frac{\delta}{\delta m}$ , donde $\frac{\delta}{\delta u}$ y $\frac{\delta}{\delta m}$ son las derivadas variacionales;

Si no, ¿hay alguna otra relación entre $\frac{\delta}{\delta u}$ y $\frac{\delta}{\delta m}$ ?

Gracias.

Answer 1

Esta es la trampa de la notación. Una forma limpia de tratar esto es considerar el mapeo $F(u) = u-\partial_{xx}u = (1-\partial_{xx})u$ que es lineal y suave si se aplica al espacio derecho de $u$ 's. Así, su derivada es de nuevo $F$ : $dF(u)v=F(v)$ .

Ver: Andreas Kriegl, Peter W. Michor: The Convenient Setting of Global Analysis. Mathematical Surveys and Monographs, Volumen: 53, American Mathematical Society, Providence, 1997 (pdf)

Answer 2

No creo que esto sea correcto; por un lado,

$\frac{\delta}{\delta m(y)}F[m(x)]=F'[m(x)]\delta(x-y)$

por otro lado,

$\frac{\delta}{\delta u(y)}F[m(x)]=F'[m(x)] (1-\partial_{xx})\delta(x-y)$

que no es igual a $(1-\partial_{xx})F'[m(x)]\delta(x-y)$