$\text{orden }a\otimes b=\gcd\left(\text{orden }a,\text{orden }b\right)$?

Question

Sean $A,B$ grupos abelianos con $a\in A$ de orden $m$ y $b\in B$ de orden $n$.

Entonces $m\left(a\otimes b\right)=\left(ma\right)\otimes b=0\otimes b=0$ y del mismo modo $n\left(a\otimes b\right)=a\otimes\left(nb\right)=a\otimes0=0$.

Esto muestra que $a\otimes b$ tiene un orden finito $k$ que divide a $m$ y $n$, o equivalentemente, $k$ divide a $\gcd\left(m,n\right)$.

Mi pregunta es:

¿Se puede mostrar también que $k$ iguala a $\gcd\left(m,n\right)$?

Answer 1

El resultado clave es: si $\sum_i{a_i}\otimes{b_i}=0$ en $A\otimes{B}$, existen grupos abelianos finitamente generados $A_0\subseteq{A}$ y $B_0\subseteq{B}$ tales que: $a_i\in{A_0}$, $b_i\in{B_0}$ y $\sum_i{a_i}\otimes{b_i}=0$ en $A_0\otimes{B_0}$. Por lo tanto, puedes aplicar los teoremas de estructura de grupos abelianos finitamente generados para demostrar que $k=\mathrm{gcd}\{m,n\}$.

Answer 2

Podemos generalizar este resultado probando que $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\bigotimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ donde $d$ es mcd($m,n$)

Observar primero que $a\bigotimes b=a\bigotimes (b.1)=(ab)\bigotimes 1=ab(1\bigotimes 1)$. En consecuencia, $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\bigotimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es un grupo cíclico con $1\bigotimes 1$ como generador.

Dado que $m(1\bigotimes 1)=m\bigotimes 1=0\bigotimes 1=0$ y $n(1\bigotimes 1)=1\bigotimes n=1\bigotimes 1=0$, entonces este grupo cíclico tiene un orden que divide a $d$.

Considera el mapa $\varphi :\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}/d$ definido por $\varphi (a,b)=ab$. Este mapa está bien definido (fácil de verificar). Evidentemente, $\varphi$ es $\mathbb{Z}$-lineal.

Por la propiedad universal del tensor, este induce un homomorfismo de módulos $R$ $\Phi :\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\bigotimes \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ donde $\phi(a\bigotimes b)=ab.

Considera un mapa de homomorfismo de módulos $R$ definido de la siguiente manera

$\Psi :\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\bigotimes \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

$\Psi(a)=a(1\bigotimes 1)$

Claramente, $\Phi \Psi =Id_{\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}}$, y $\Psi \Phi =Id_{\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\bigotimes \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}$

Por lo tanto, $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\bigotimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ donde $d$ es mcd($m,n$) de lo que se deduce lo que afirmas.