cohomología singular de SO(4)

Question

Estoy intentando calcular la cohomología singular de SO(4), como práctica para usar las secuencias espectrales. Tengo H 0 \= Z , H 1 \=0, H 2 \= Z /2 Z , H 3 \= Z ⊕ Z , H 4 \=0, H 5 \= Z /2 Z y H 6 \= Z . ¿Son correctos? No estoy seguro de si estoy leyendo bien, pero estos cálculos parecen estar en desacuerdo con este una pequeña nota muy interesante sobre el anillo de cohomología de SO(n) (¡mira las locas imágenes de la parte inferior!).

Además, en el espíritu de "enseñar a un hombre a pescar", ¿alguien sabe de algún lugar donde la gente haya recopilado todo este tipo de cálculos (y posiblemente también cálculos de homología y homotopía)?

Por último, ¿cómo puedo determinar la estructura del anillo en H*(SO(4)) a partir de estos cálculos? Supuestamente el isomorfismo de lo que sea tu cohomología habitual (de Rham, singular, lo que sea) con la cohomología del complejo doble respeta la estructura de anillo, pero ¿es realmente tan fácil como decir que el producto de un elemento (p,q) con un elemento (r,s) vive en (p+r,q+s) y es lo que se espera que sea?

ADDENDUM:

Como es probable que sean incorrectos, expondré aquí mi proceso y espero que alguien con algo de tiempo libre pueda decirme en qué me he equivocado. (¡Me disculpo de antemano por intentar describir la secuencia espectral de un complejo doble sin ningún diagrama! Lo intenté, pero aparentemente las tablas no funcionan en Math Overflow todavía). Estoy trabajando con Bott & Tu. Estoy usando la fibración estándar de SO(4) sobre S 3 con fibra SO(3). Tienen el teorema de Leray (15.11, por lo menos en mi edición muy antigua) que da que, como la base es simplemente conectada, E ₂ p,q \=H p (S 3 ,H q (SO(3); Z )). Sabemos que H 0 (SO(3))=H 3 (SO(3))= Z , H 2 (SO(3))= Z /2 Z y H n (SO(3))=0 en caso contrario. Por el teorema del coeficiente universal, la cohomología singular de S 3 con coeficientes en un grupo abeliano G es sólo G en las dimensiones 0 y 3, y 0 en el resto. Así que tengo E ₂ sólo es distinto de cero en las columnas 0 y 3, donde es Z , 0, Z /2 Z , Z , 0, 0, 0... Esto es, de hecho, E _∞ ya que el único mapa potencialmente no nulo de aquí en adelante es el que va de la entrada (0,2) a la entrada (3,0), pero éste tiene que ser un homomorfismo de Z /2 Z a Z que es necesariamente cero. Sumando a lo largo de las diagonales se obtienen los resultados que he dado anteriormente.

Answer 1

Su cálculo es correcto. En la descripción de Hatcher de la cohomología integral mod torsión el último generador tiene que ser interpretado como un generador extra además de los anteriores.

El anillo de cohomología integral del límite no es en general isomorfo al anillo E_{ \infty } anillo, pero el E_{ \infty } anillo es el asociado graduado a una filtración en el límite.

Tal vez quieras mirar el teorema de Leray-Hirsch que te habla de parte de la estructura del producto taza siempre que el grupo fundamental de la base actúe trivialmente y no hay diferenciales. (Y puedes usar que los mapas inducidos H^ (B) \to H^ (E) \to H^*(F) en cohomología son isomorfismos de anillo).

En su caso particular resulta que sólo hay una posibilidad: el E_{ \infty } y el límite son isomorfos como anillos.

Answer 2

Una forma diferente de comprobar su cálculo es la siguiente: SO(4) es homeomorfo a So(3) \times S^3 (Hatcher, página 294). Además, el producto cruzado induce un isomorfismo entre H^* (X \times Y) y el producto tensorial H^* (X) \otimes H^* (Y) si X e Y son complejos CW y H^*(Y) es un libre finitamente generado en cada grado (Hatcher, teorema 3.16). Tomando X = SO(3) e Y = S^3, se cumplen estas condiciones.

La cohomología singular de SO(3) se puede determinar utilizando el homeomorfismo entre SO(3) y RP^3: H^* (SO(3)) = H^* (RP^3). La cohomología de RP^3 viene dada por H^0(RP^3) = Z, H^1(RP^3) = 0 H^2(RP^3) = Z/2Z, H^3(RP^3) = Z y todos los demás grupos de cohomología 0.

Tomando el producto tensorial de esto con la cohomología de S^3, podemos concluir que la cohomología de SO(4) está dada por H^0(SO(4))=Z, H^1(SO(4))=0, H^2(SO(4))=Z/2Z, H^3(SO(4))=Z \oplusZ H^4(SO(4))=0, H^5(SO(4))=Z/2Z, H^6=Z y todos los demás grupos de cohomología 0.

Answer 3

Te faltó H^1(SO(3))=Z/2Z. Y un rápido vistazo a tus grupos te dice que tus cálculos son erróneos, ya que SO(n) no es simplemente conectado para n>=2. Echa ese último grupo de Z/2Z, y a ver si consigues la respuesta correcta.