Dejemos que ( $X,\tau)$ sea un espacio superior. Supongamos que $Y \subset X$ es un subespacio conectado dada la topología del subespacio. Si $A \cup B$ es una separación del espacio $X$ entonces $Y$ se encuentra enteramente en $A$ o $B$ .
Sólo quiero una verificación:
Supongamos que es lo contrario, entonces $\exists a \in Y$ tal que $a \in A$ y $\exists b \in Y$ tal que $b \in B$ .
Afirmo que
$$Y \cap X = Y \cap (A \cup B) = (Y \cap A) \cup (Y \cap B)$$
Forma una separación de $Y$ .
Como $Y$ hereda la topología del subespacio, la topología en $Y$ puede venir dada por
$$\tau_Y = \{Y \cap U \mid U \in \tau\}$$
Entonces, como $A,B \in \tau$ tenemos que $Y \cap A,Y \cap B \in \tau_Y$ es decir, ambos están abiertos en $Y$ .
Es evidente que ambos son no vacíos por la existencia de $a,b$ arriba.
Por último, para la disociación, supongamos que $\exists \alpha \in (Y \cap A) \cap (Y \cap B)$ entonces $\alpha \in A \cap B$ contradictorio $A,B$ siendo disjuntos (ya que se suponía que formaban una separación de nuestro espacio matriz) y por tanto
$$(Y \cap A) \cap (Y \cap B) = \emptyset$$
por lo que
$$Y = (Y \cap A) \cup (Y \cap B)$$
forma una separación de $Y$ contradiciendo que sea un subespacio conectado $\blacksquare$
