$EN \cap FM = X$ and $EC \cap FB = Y$. Demuestra que $XY$ pasa por un punto fijo.

Question

$E$ y $F$ son puntos respectivamente en los segmentos $AB$ y $AC$ tales que $EF \parallel BC$. Las tangentes de $(AEF)$ en los puntos $E$ y $F$ cortan respectivamente a $BC$ en los puntos $M$ y $N$. $EN \cap FM = X$ y $EC \cap FB = Y$. Demuestra que $XY$ pasa por un punto fijo.

Tengo una predicción en la que $XY$ interseca $BC$ en el punto fijo $D$. Quizás donde $$\dfrac{DM}{DB} \left(= \dfrac{DX}{DY}\right) = \dfrac{DN}{DC}$$. Pero no estoy seguro.

Answer 1

Sea $K$ el circuncentro de $\triangle AEF$, y define $a:=|BC|$, $b:=|CA|$, $c:=|AB|$.

Dado que $\angle AKF = 2\angle B$ y $\angle AKE=2\angle C$ (por el Teorema del Ángulo Inscrito), y como $\overline{EM}\perp\overline{EK}$ y $\overline{FN}\perp\overline{FK}$, un pequeño rastreo de ángulos nos da que $\angle BEM = \angle C$ y $\angle CFN = \angle B$. En consecuencia, $$\triangle MBE\sim\triangle ABC\sim\triangle NFC \tag{1}$$

Dado que $\overline{EF}\parallel\overline{BC}$, podemos escribir $|BE|=\lambda c$ y $|CF|=\lambda b$ para algún $\lambda$ (que debemos considerar distinto de cero). Proporciones siguiendo de $(1)$ nos dan $$|BM|=\lambda\frac{c^2}{a} \qquad |CN|=\lambda\frac{b^2}{a} \tag{2}$$

Tomando una idea de la respuesta de @liaombro (actualmente eliminada), la paralelismo (y las correspondientes proporciones de $\triangle YBC\sim\triangle YFE$) implica que $Y$ es el centro de una homotecia que lleva $\overline{BC}$ a $\overline{FE}$. De igual manera, $X$ es el centro de una homotecia que lleva $\overline{FE}$ a $\overline{MN}$. El producto de estas transformaciones es una homotecia que lleva $\overline{BC}$ a $\overline{MN}$. Dado que $B$, $C$, $M$, $N$ son colineales, el centro (digamos, $Z$) de esa homotecia debe estar en $\overleftrightarrow{BC}$; por el resultado vinculado por @liaombro, $Z$ también está en $\overleftrightarrow{XY}$. Mostramos que $Z$ es el punto fijo de destino de la siguiente manera:

$$\underbrace{\frac{|BZ|}{|MZ|} = \frac{|CZ|}{|NZ|}}_{\text{homotecia a través de } Z} \quad\to\quad\frac{|BZ|}{|BZ|-\lambda b^2/a}=\frac{|CZ|}{|CZ|-\lambda c^2/a}\quad\to\quad\frac{|BZ|}{|CZ|}=\frac{b^2}{c^2} \tag{$\star$}$$

Dado que la razón final es independiente de $\lambda$, el resultado está demostrado. $\square$