¿Qué significa que un polinomio sea la "mejor" aproximación de una función alrededor de un punto?

Question

Creo que entiendo cómo utilizar los polinomios de Taylor para aproximar el seno. Por ejemplo, si $$ \sin x \approx ax^2+bx+c $$ y queremos que la aproximación sea especialmente precisa cuando $x$ está cerca de $0$ entonces podríamos adoptar el siguiente enfoque. Cuando $x=0$ , $\sin x = 0$ y así $ax^2+bx+c=0$ lo que significa que $c=0$ . Por lo tanto, obtenemos $$ \sin x \approx ax^2+bx $$ Si queremos que las primeras derivadas coincidan, entonces $\frac{d}{dx}(ax^2+bx)$ debe ser igual a $1$ . Por lo tanto, $b=1$ : $$ \sin x \approx ax^2+x $$ Por último, si queremos que las segundas derivadas coincidan, entonces $\frac{d^2}{dx^2}(ax^2+x)$ debe ser igual a $0$ y así $a=0$ . La aproximación del ángulo pequeño para el seno es $$ \sin x \approx x $$ Todo esto tiene sentido para mí. Lo que no entiendo es cuando la gente trata de poner esto en pie de rigor. A menudo he oído decir a la gente que "esto demuestra que $x$ es la mejor aproximación cuadrática de $\sin x$ cuando $x$ está cerca de $0$ '. Pero, ¿qué se entiende por "mejor" y por "más cercano"? Si la aproximación se volviera repentinamente terrible cuando $x=0.5$ Entonces, ¿se consideraría esto lo suficientemente cerca de $0$ para que haya un problema? Parece que hay definiciones formales para estos términos, pero no sé cuáles son.

Answer 1

Tienes razón. La palabra "mejor" es ambigua. Hay muchas métricas que se utilizan para medir lo cerca que está una función de otra. Cada métrica crea su propia definición de mejor aproximación. Por lo general, un libro de texto dirá algo así como $\tilde f$ es la mejor aproximación a $f$ y luego defenderán su afirmación utilizando su definición de lo mejor. Una vez que te acostumbras a esto, se convierte en un caso perdonable de poner el carro delante del caballo.