Ecuación de Schrodinger en coordenadas esféricas

Question

He leído un artículo sobre la resolución de la ecuación de Schrodinger con potencial central, y me pregunto cómo obtiene el autor la ecuación(2) que aparece a continuación. Texto completo.

En el libro de Griffiths, se lee

$$-\frac{1}{2}D^2\phi+\left(V+\frac{1}{2}\frac{l(l+1)}{r^2}\right)\phi=E\phi$$

Son muy diferentes. ¿Puede alguien explicar cómo deducir la ecuación(2)?

Answer 1

Los armónicos sólidos fueron explicados por Misha, así que déjame completar el resto de los detalles.

El operador laplaciano viene dado por $\Delta = \partial_x^2 + \partial_y^2 + \partial_z^2$ . En primer lugar, supongamos que sólo nos interesa la parte radial. Utilizando la regla de la cadena (y dejando que $D \equiv \partial_r$ como en sus referencias), podemos escribir $$\partial_x = r_{,x} D, \quad \partial_x^2 = r_{,xx} D + (r_{,x} D)^2.$$ Tenemos que calcular $$r_{,x} = {\partial \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \over \partial x } = {x \over r}$$ y $$r_{,xx} = \partial_x {x \over r} = {1 \over r} - {x^2 \over r^3}.$$ Las expresiones para $\partial_y$ y $\partial_z$ son, por supuesto, similares, por lo que $$\Delta = ({3 \over r} - {r^2 \over r^3})D + D^2 = {2 \over r}D + D^2.$$

Ahora, la parte esférica del operador laplaciano viene dada por $-{L^2 \over r^2}$ donde $\mathbf L$ es el operador de momento angular. Si utilizamos armónicos esféricos de nivel $l$ (que son estados propios de L^2 correspondientes al valor propio $l(l+1)$ ) y hacer una sustitución $\phi \to {\phi \over r}$ obtenemos el resultado de Griffith.

Answer 2

La diferencia se debe a que los armónicos sólidos no son armónicos esféricos. Así, la ecuación (2) y la ecuación más convencional de Griffith son ecuaciones para funciones diferentes $\phi$ . La ecuación de Schrodinger (1)

$$-\frac{1}{2r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2\frac{\partial}{\partial r}\psi\right) + \frac{\hat{L}^2}{2r^2}\psi + V\psi ~=~ E\psi$$

se convierte, efectivamente, por sustitución

$$\psi ~=~ R(r) Y_{\ell m}(\theta,\varphi)~=~ \phi(r) r^{\ell} Y_{\ell m}(\theta,\varphi)$$ a la ecuación (2) si haces los cálculos correctamente. Nota: $r^{\ell}$ aquí: es lo que difiere sólido armónicos de esférico armónicos. Por otro lado, la función de Griffith $\phi(r)$ se define como $rR(r)$ .